зад 1 Гонки вокруг квартала
Два друга — Егор и Петя — устроили гонки на велосипедах вокруг квартала в дачном посёлке (см. рисунок). Стартовав одновременно из точки \(B\) в разные стороны, Егор — вдоль улицы \(BA\), Петя — вдоль улиц \(BC\) и \(CA\), друзья встретились через 4 минуты в точке \(A\) и продолжили гонки с постоянными по модулю скоростями, объезжая квартал раз за разом в противоположных направлениях. Через какое минимальное время после этой встречи они снова окажутся вместе в точке \(A\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите скорости друзей по их путям за первые 4 минуты и периоды обращения каждого по своему маршруту.
▶ОтветСкрыть
Минимальное время до повторной встречи в точке \(A\) составляет 48 минут \(= 0{,}8\) часа.
зад 2 Система блоков с грузами
В системе, изображённой на рисунке, масса самого правого груза равна \(m_4 = 1\) кг, а массы всех блоков одинаковы и равны \(m_0 = 300\) г. Система уравновешена и неподвижна. Найдите массы грузов \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\). Массой троса и трением в блоках пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Начните с правого подвижного блока: сила натяжения троса одинакова по всей его длине, затем переходите к блокам левее.
▶ОтветСкрыть
\(m_1 = m_2 = m_3 = 2m_4 - m_0 = 1{,}7\) кг.
зад 3 Заполнение бассейна
Пятидесятиметровый бассейн шириной 20 м имеет профиль дна, показанный на рисунке: через каждые \(12{,}5\) м глубина бассейна увеличивается на 1 м. Пустой бассейн начинают заполнять водой, наливая её со скоростью 1000 литров в минуту. Построить график зависимости высоты \(h\) уровня воды над самой глубокой частью дна от времени \(t\) и определить, через какое время бассейн заполнится водой доверху.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока уровень поднимается в пределах одной ступени, площадь поверхности воды постоянна; найдите время заполнения каждого метра глубины.
▶ОтветСкрыть
См. график; бассейн заполнится водой доверху за 2500 минут \(=\) 41 час 40 минут.
зад 4 Пробирка с песком
У школьника Андрея есть стеклянная пробирка массой \(M = 80\) г и вместительностью \(V = 60\) мл. Он опустил пробирку в цилиндрический сосуд с водой и постепенно насыпáл на дно пробирки песок до тех пор, пока она не погрузилась в воду по горлышко (см. рисунок). Затем Андрей измерил массу песка, находившегося в пробирке в этот момент, и она оказалась равной \(m = 12\) г. Внутренний радиус сосуда, в который опущена пробирка, равен \(R = 5\) см. Плотность воды равна \(\rho_\text{в} = 1\) г/см\(^3\). Определите по этим данным плотность стекла пробирки и вычислите, на сколько поднялся уровень воды в сосуде в результате погружения пробирки в воду.
▶ПодсказкаСкрыть
Условие плавания: вес пробирки с песком равен весу вытесненной воды; объём стекла — это объём вытесненной воды минус вместимость пробирки.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_\text{ст} = \dfrac{M_\text{в}}{M + m - \rho_\text{в}V} = 2{,}5\) г/см\(^3\); \(\Delta h = \dfrac{M + m}{\rho_\text{в}\pi R^2} \approx 1{,}17\) см.