зад 1 Матрос на барже
По прямой реке с постоянной скоростью \(u = 5\) м/с плывёт баржа длиной \(L = 100\) м. На корме баржи стоит матрос. Он начинает ходить по барже от кормы к носу и обратно. Вперёд он идёт с постоянной относительно баржи скоростью \(v_1 = 1\) м/с, а назад — с постоянной относительно баржи скоростью \(v_2 = 2\) м/с. Какой путь пройдёт матрос относительно берега реки, если пройдёт по барже туда и обратно \(n = 10\) раз?
▶ПодсказкаСкрыть
Путь относительно берега — это скорость матроса относительно берега, умноженная на время; время хода по барже найдите в системе отсчёта баржи.
▶ОтветСкрыть
Матрос пройдёт относительно берега реки путь \(s = nLu\dfrac{v_1 + v_2}{v_1v_2} = 7500\) м.
зад 2 Китайский ворот
Так называемый «китайский ворот» представляет собой два цилиндрических вала радиусами \(r\) и \(R\), насаженных на общую ось, закреплённую горизонтально (на рисунке показан вид сбоку). На валы в противоположных направлениях намотана верёвка, на которой висит подвижный блок такого радиуса, что свободные участки верёвки практически вертикальны. К оси блока прикреплён груз массой \(m\). Ворот снабжён ручкой, конец которой находится на расстоянии \(2R\) от оси ворота.
Ворот вращают за ручку так, что он делает \(n\) оборотов в секунду. С какой скоростью при этом движется груз, если верёвка нигде не проскальзывает?
Какую силу необходимо прикладывать к концу ручки ворота для того, чтобы равномерно поднимать груз, если верёвка и блок очень лёгкие, а трения нет?
▶ПодсказкаСкрыть
За оборот ворота один участок верёвки наматывается, а другой разматывается; для силы удобно использовать равенство работ (золотое правило механики).
▶ОтветСкрыть
1) При вращении ручки ворота с частотой \(n\) оборотов в секунду груз движется со скоростью \(v = \pi(R - r)n\); 2) для того, чтобы равномерно поднимать груз, к концу ручки ворота необходимо прикладывать силу \(F = \dfrac{mg(R - r)}{4R}\).
зад 3 Схема с двумя переключателями
Нарисовать схему, состоящую из батарейки, двух переключателей и трёх лампочек (см. рисунок) и имеющую при различных положениях переключателей следующие режимы работы:
Горит первая лампа.
Горит вторая лампа.
Горит третья лампа.
Горят все три лампы.
▶ПодсказкаСкрыть
Чтобы лампа в режиме «горят все три» светила так же ярко, как одна, лампы должны оказаться подключёнными к батарейке параллельно.
▶ОтветСкрыть
Возможная схема включения лампочек изображена на рисунке.
зад 4 Каток с «грибами»
Школьник Петя на каникулах залил с дедушкой каток на даче площадью около 100 м\(^2\). После морозов началась оттепель с дождём и снегом, а потом снова ударили морозы \(-10\,^\circ\)C. Приехав в субботу на дачу, Петя обнаружил, что примерно 5% площади катка покрылось «грибами» из льда — наростами толщиной около 1 см и площадью примерно 100 см\(^2\). Пете очень хотелось покататься на коньках, и он решил выровнять каток, «выгладив» его горячим утюгом. Примерно сколько времени понадобится для этого, и успеет ли Петя покататься в воскресенье? Мощность утюга — 2 кВт, удельная теплоёмкость льда \(C_\text{л} = 2{,}1\) Дж/(г\(\cdot ^\circ\)С), удельная теплота плавления льда 340 Дж/г, удельная теплоёмкость воды \(C_\text{л} = 4{,}2\) Дж/(г\(\cdot ^\circ\)С), плотность льда \(\rho_\text{л} = 0{,}9\) г/см\(^3\). Можно считать, что каждый «гриб» достаточно разгладить до высоты 1 мм, при разглаживании вода нагревается до \(+50\,^\circ\)C, потери теплоты на нагревание окружающего утюг воздуха малы, а потери времени на распределение воды по достаточной площади льда и на переход к следующему «грибу» составляют около 20 секунд.
▶ПодсказкаСкрыть
Подсчитайте число «грибов», затем теплоту, нужную на нагрев, плавление и нагрев воды от слоя льда толщиной 9 мм, и время на один «гриб».
▶ОтветСкрыть
На «выглаживание» катка уйдёт примерно 6 часов, так что Петя в воскресенье сможет покататься.
(Всего на катке находятся 500 ледяных «грибов». Время на плавление одного «гриба» утюгом \(\approx 23\) секунды, с учётом дополнительных потерь 20 секунд на один «гриб» тратится не меньше 43 секунд.)