зад 1 Спутники на геостационарной орбите
Оцените, на какой широте \(\varphi\) наблюдатель не сможет видеть ни одного спутника Земли, находящегося на геостационарной орбите, то есть как бы «висящего» над одной точкой земной поверхности. Радиус Земли равен \(R_\text{З}\), ускорение свободного падения на поверхности Земли — \(g\), период обращения (сутки) — \(T\).
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите радиус геостационарной орбиты из равенства силы тяготения центростремительной силе, затем проведите касательную из точки наблюдателя к орбите.
▶ОтветСкрыть
\(\varphi > \arccos\sqrt[3]{\dfrac{4\pi^2R_\text{З}}{gT^2}}\).
Заметим, что после подстановки известных чисел в эту формулу получается, что \(\varphi > 81{,}4^\circ\). В таких высоких широтах живут только полярники, так что практически все жители Земли могут пользоваться спутниковыми «тарелками»!
зад 2 Цилиндр между водой и спиртом
Малый сосуд удерживают внутри большого так, как показано на рисунке. В дне малого сосуда есть отверстие со втулкой, в которое вставлен цилиндр. Высота цилиндра \(h = 21\) см, он может перемещаться относительно втулки без трения и только по вертикали. В малом сосуде находится вода, в большом — спирт, и при этом цилиндр покоится. На какой глубине \(d\) под водой находится верхнее основание цилиндра? Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность спирта \(\rho_\text{с} = 790\) кг/м\(^3\), плотность цилиндра \(\rho = 600\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия цилиндра по вертикали: сила тяжести уравновешена разностью давлений жидкостей на его основания (втулка силы трения не создаёт).
▶ОтветСкрыть
\(d = \dfrac{\rho_\text{с} - \rho}{\rho_\text{в} - \rho_\text{с}} = 19\) см.
зад 3 Максимальная мощность на резисторах
Резисторы сопротивлениями \(R_1 = 10\) Ом, \(R_2 = 20\) Ом, \(R_3 = 40\) Ом и \(R_4 = 80\) Ом припаяны к клеммам \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) так, как показано на рисунке. Имеется источник тока с ЭДС \(\mathcal{E} = 12\) В и внутренним сопротивлением \(r = 5\) Ом, а также много соединительных проводов малого сопротивления, которые можно подключать к источнику и к любой из клемм. Как нужно соединить источник и резисторы, чтобы общая тепловая мощность, выделяющаяся на резисторах, была максимальной? Чему равна эта мощность?
▶ПодсказкаСкрыть
Мощность на внешней нагрузке максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника; подумайте, как составить из четырёх резисторов нагрузку, ближайшую к \(r\).
▶ОтветСкрыть
Искомая тепловая мощность \(N_{\max}\) максимальна, как нетрудно доказать, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника \(r = 5\) Ом. Это достигается с наибольшей точностью при параллельном соединении всех резисторов (см. рисунок), так что их общее сопротивление \(R = (16/3)\) Ом \(\approx 5{,}33\) Ом, а \(N_{\max} = \mathcal{E}^2R/(R + r)^2 \approx 7{,}19\) Вт.
зад 4 Тень от наклоняемой палки
Палка, стоящая вертикально на горизонтальной площадке, освещаемой солнечным светом, имеет высоту \(h = 1{,}2\) м и отбрасывает тень длиной \(L = 0{,}9\) м. Палку начинают медленно наклонять в направлении отбрасываемой ею тени, так, что её нижний конец не сдвигается с места. Длина тени при этом до определённого момента увеличивается, а потом начинает уменьшаться. Чему была равна максимальная длина тени от палки?
▶ПодсказкаСкрыть
Солнечные лучи параллельны; верхний конец палки движется по окружности радиуса \(h\), а тень от него смещается вдоль площадки — найдите, когда она дальше всего.
▶ОтветСкрыть
\(L_{\max} = \sqrt{L^2 + h^2} = 1{,}5\) м.