МОШ, 2014/15, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Сколько льда, взятого из холодильника, способна растопить вода в сосуде? Запишите это как предельную массу льда \(M_0\) и выразите через неё оба наблюдения.

Ответ

Отношение массы шарика к массе кубика может быть от 1 до 3.

Решение

Пусть \(C\) — общая теплоёмкость воды и сосуда, \(c_{\text{л}}\) — удельная теплоёмкость льда, \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(t_{\text{к}}\) — комнатная температура, \(t_{\text{х}}\) — температура в холодильнике. Исследуем, в каком случае льдинка массой \(m\), взятая из холодильника, при погружении в сосуд полностью растает. Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении воды и сосуда до \(0\,^\circ\text{C}\), составляет \(C t_{\text{к}}\). Его должно хватить на нагревание льдинки до \(0\,^\circ\text{C}\) (требуемое количество теплоты \(c_{\text{л}} m |t_{\text{х}}|\)) и на её плавление (требуется количество теплоты \(\lambda m\)). Следовательно, льдинка растает полностью при \[C t_{\text{к}} > c_{\text{л}} m |t_{\text{х}}| + \lambda m,\] или при \[m < \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda}.\] По условию задачи \[3 m_{\text{к}} < \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda} < 4 m_{\text{к}}, \qquad m_{\text{к}} + m_{\text{ш}} < \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda} < m_{\text{к}} + 2 m_{\text{ш}}.\] Обозначая \[M = \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda} - m_{\text{к}},\] сводим данную задачу к задаче 3а (о взвешивании кубиков и шариков): \(2 m_{\text{к}} < M < 3 m_{\text{к}}\) и \(m_{\text{ш}} < M < 2 m_{\text{ш}}\). Отсюда \(m_{\text{ш}} < 3 m_{\text{к}}\) и \(m_{\text{ш}} > m_{\text{к}}\).

Подсказка

Тень предмета П получится, если лучи, освещающие его, выходят из одной точки по другую сторону от предмета. Где должно находиться изображение источника в зеркале?

Ответ

Зеркало минимального размера изображено на рисунке.

Решение

Чтобы предмет П отбрасывал тень Т, продолжения лучей света должны выходить из точки И\(_1\). Эта точка И\(_1\) должна являться изображением источника света И в зеркале. Отсюда однозначно определяем положение плоскости зеркала. Учитывая, что лучи света должны обязательно освещать концы стены, находим минимально возможный размер зеркала.

Подсказка

Пока вода не дошла до груза, пружина растянута силой тяжести. Когда вода касается груза, на него начинает действовать сила Архимеда, зависящая от глубины погружения, а уровень воды растёт тем медленнее, чем больше объём вытесняет груз.

Ответ

График состоит из горизонтальной линии \(l = 20\) см при \(V < 30\) л (груз в воздухе), наклонного участка, соединяющего точки \((20\text{ см};\,30\text{ л})\) и \((10\text{ см};\,49\text{ л})\) (груз при \(V\) от 30 л до 49 л частично погружён в воду), горизонтальной линии \(l = 10\) см при \(V > 49\) л (груз полностью в воде).

Подсказка

Лампочка горит в полный накал, если она подключена прямо к батарейке; на трёх одинаковых лампочках, соединённых последовательно, напряжение делится поровну. Подумайте, как ключи могут закорачивать часть цепи.

Ответ

Возможная схема электрической цепи, удовлетворяющая всем заявленным требованиям, представлена на рисунке.

Подсказка

Выразите отношение скоростей через моменты старта, окончания первого круга и обгона, затем подумайте, в какую сторону должна сдвинуться каждая из этих величин в пределах своей минуты, чтобы отношение стало наибольшим или наименьшим.

Ответ

Отношение скорости велосипедиста к скорости пешехода может быть в интервале от \(2{,}75\) до \(5{,}5\).

Решение

Пусть \(t_1\) — момент старта, \(t_2\) — момент времени, когда Владислав проехал один круг, \(t_3\) — момент обгона. При этом \(t_1 < t_2 < t_3\).

По условию, пешеход прошёл расстояние от старта до момента обгона за время \(t_3 - t_1\); велосипедист же прошёл это же расстояние за время \(t_3 - t_2\). Отношение \(k\) скорости велосипедиста к скорости пешехода равно обратному отношению этих времён: \[k = \frac{t_3 - t_1}{t_3 - t_2}. \tag{1}\] Также данное отношение можно записать как: \[k = 1 + \frac{t_2 - t_1}{t_3 - t_2}. \tag{2}\] Поскольку моменты времени \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\) известны с некоторой погрешностью, исследуем, в каком случае отношение \(k\) будет больше и в каком — меньше. К увеличению \(k\) приводят: уменьшение \(t_1\) (см. первую формулу), увеличение \(t_2\) (см. первую формулу), уменьшение \(t_3\) (см. вторую формулу). К уменьшению \(k\) приводят: увеличение \(t_1\), уменьшение \(t_2\), увеличение \(t_3\) (по тем же формулам).

Следовательно, максимальное значение \(k\) достигается, когда \(t_1 = 11\) ч 15 мин, \(t_2 = 11\) ч 24 мин, \(t_3 = 11\) ч 26 мин. В этом случае \(k = 5{,}5\).

Минимальное значение \(k\) достигается, когда \(t_1 = 11\) ч 16 мин, \(t_2 = 11\) ч 23 мин, \(t_3 = 11\) ч 27 мин. В этом случае \(k = 2{,}75\).

Подсказка

Запишите правило моментов относительно края стола в обоих опытах; во втором вместо силы тяжести груза действует её разность с силой Архимеда.

Ответ

Отношение массы груза к массе линейки равно 1, отношение плотности груза к плотности воды равно \(3/2\) (плотность груза \(1500\text{ кг/м}^3\)).

Решение

Пусть \(L = 40\) см — длина линейки, \(a = 10\) см, \(b = 15\) см — длины выступающей части линейки в двух опытах, \(m\) — масса груза, \(M\) — масса линейки, \(\rho_0 = 1000\text{ кг/м}^3\) — плотность воды, \(\rho\) — плотность грузика.

Пусть длина выступающей части линейки равна \(a\). К линейке приложены силы \(mg\) — на расстоянии \(a\) от оси вращения и \(Mg\) на расстоянии \(L/2 - a\) от оси вращения. Поскольку линейка находится в равновесии, на основе правила рычага получим: \(mga = Mg(L/2 - a)\) и \(M/m = a/(L/2 - a) = 1\).

Пусть длина выступающей части линейки равна \(b\). К концу линейки приложена сила \(F\), равная разности силы тяжести \(mg\), действующей на груз, и силы Архимеда \(\rho_0 g \cdot m/\rho\): \(F = mg(1 - \rho_0/\rho)\). К середине линейки, на расстоянии \(L/2 - b\) от оси вращения, приложена сила \(Mg\). По правилу рычага, \(Fb = Mg(L/2 - b)\). Отсюда \[mg\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right) b = Mg\,(L/2 - b)\] и \[\frac{\rho_0}{\rho} = 1 - \frac{M}{m}\cdot\frac{L/2 - b}{b} = \frac{2}{3}.\]

Подсказка

Всё излучение, падающее на площадь кольца, попадает на резервуар. Найдите эту мощность и сравните полученную за секунду энергию с теплотой, нужной для превращения одного килограмма воды в пар.

Ответ

За секунду в пар превращается 92 г воды.

Решение

Обозначим через \(Q_0 = 2300\) кДж количество теплоты, требуемое для нагревания и превращения \(m_0 = 1\) кг воды в пар, \(P_0 = 900\) Вт — мощность солнечного излучения, попадающего на \(S_0 = 1\text{ м}^2\) поверхности земли, \(r = 5\) м и \(R = 10\) м — внутренний и внешний радиусы кольца, \(\tau = 1\) с.

Падающая на зеркало мощность \(P\) относится к мощности \(P_0\) так же, как площадь зеркала \(\pi(R^2 - r^2)\) относится к площади \(S_0\). Отсюда \(P = P_0 \cdot \pi(R^2 - r^2)/S_0\). Масса испарившейся за время \(\tau\) воды \(m\) относится к массе \(m_0\) так же, как полученная энергия \(P\tau\) относится к количеству теплоты \(Q_0\); отсюда \(m = m_0 P\tau/Q_0\) и \[m = m_0\,\frac{P_0\,\pi(R^2 - r^2)\,\tau}{S_0 Q_0} = 0{,}092\text{ кг} = 92\text{ г}.\]

Подсказка

Подключите к цепи источник напряжения \(U\) и расставьте токи в ветвях. Сравнивая напряжение между входом и выходом вдоль разных путей, найдите, как делятся токи в узлах.

Ответ

Если в точке \(O\) соединения нет, сопротивление цепи равно \(3{,}5\) кОм; если в точке \(O\) соединение есть, сопротивление цепи равно \(3{,}2\) кОм.

Решение

Пусть к концам электрической цепи подключена батарейка с напряжением \(U\).

(а) Пусть в точке \(O\) соединения нет. Изобразим на рисунке электрические токи.

Рассчитывая напряжение между точками \(A\) и \(B\) разными способами, получим:

• \(U = IR + I_2R + IR\), путь \(ACDB\);

• \(U = IR + I_1R + IR\), путь \(ACFB\).

Следовательно, \(I_1 = I_2\). Учитывая, что в точку \(C\) втекает ток \(I\), а вытекают два равных тока \(I_1\) и \(I_2\), получим: \(I_1 = I_2 = I/2\). Следовательно, \(U = 2{,}5IR\); сила тока через батарейку составляет \(2I\) и сопротивление цепи: \[R_1 = \frac{2{,}5IR}{2I} = 1{,}25R = 3{,}5\text{ кОм}.\]

(б) Пусть в точке \(O\) соединение есть. Изобразим на рисунке электрические токи.

Учтём, что на резисторе, подсоединённом к точкам \(E\) и \(F\), напряжение и ток равны нулю. Рассчитывая напряжение между точками \(A\) и \(B\) разными способами, получим:

• \(U = I_3R + I_3R\), путь \(AEFB\) (отсюда \(I_3 = U/(2R)\));

• \(U = I_0R + I_5R + I_0R\), путь \(ACDB\);

• \(U = I_0R + I_4R + I_4R + I_0R\), путь \(ACODB\).

Следовательно, \(I_5 = 2I_4\). Учитывая, что в точку \(C\) втекает ток \(I_0\), а вытекают два равных тока \(I_4\) и \(I_5 = 2I_4\), получим: \(I_4 = I_0/3\), \(I_5 = 2I_0/3\). Следовательно, \(U = 8I_0R/3\) и \(I_0 = 3U/(8R)\).

Общая сила тока через батарейку равна: \[I_0 + I_3 = \frac{U}{2R} + \frac{3U}{8R} = \frac{7U}{8R}.\] Следовательно, сопротивление цепи равно: \[R_2 = \frac{U}{7U/(8R)} = \frac{8}{7}R = 3{,}2\text{ кОм}.\]