МОШ, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Скорость максимальна там, где ускорение обращается в ноль, то есть сила упругости уравновешена силой трения. Найдите деформацию пружины в этой точке и запишите изменение механической энергии на пути до неё.

\(u = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{k}{m}(l^2 - x^2) - 2\mu g (l - x)} \approx 1{,}28\) м/с, где \(x = \mu m g/k = 2\) см.

Когда скорость бруска максимальна, его ускорение обращается в ноль. Равна нулю в этот момент и сумма сил, действующих на брусок, \(\mu m g = k x\), где \(x\) — деформация растянутой пружины. С учетом численной подстановки получаем \(x = 2\) см. По закону изменения механической энергии \[\frac{m v_0^2}{2} + \frac{k l^2}{2} - \mu m g (l - x) = \frac{m u^2}{2} + \frac{k x^2}{2}.\] Отсюда \[u = \sqrt{v_0^2 + \frac{k}{m}(l^2 - x^2) - 2\mu g (l - x)} = 1{,}28 \text{ м/с}.\]

Сколько молей составляют 4 г гелия? Система теплоизолирована, поэтому вся внутренняя энергия конечного состояния складывается из энергий обеих порций газа и работы сжатия.

\(T = \dfrac{1}{3}\left(2T_1 + T_2 + \dfrac{4A}{3\nu R}\right) = 420\) К.

С учетом молярной массы гелия количество добавленного газа равно \(\nu/2 = 1\) моль. Так как система теплоизолирована, по первому закону термодинамики \[\frac{3}{2}\nu R T_1 + \frac{3}{2}\frac{\nu}{2} R T_2 + A = \frac{3}{2}\frac{3}{2}\nu R T,\] откуда \(T = \dfrac{1}{3}\left(2T_1 + T_2 + \dfrac{4A}{3\nu R}\right) = 420\) К.

В установившемся режиме токов нет, а конденсаторы, соединённые последовательно, несут одинаковый заряд. Во втором пункте найдите заряд, протекший через источник \(\varepsilon\), и запишите баланс энергии для правого контура.

1) \(U_1 = U_2 = \varepsilon = 2\) В;  2) \(Q = 2C\varepsilon^2 = 8\) мкДж.

В установившемся режиме после замыкания ключа \(K_1\) по закону сохранения заряда \(C U_1 = C U_2\). Из второго закона Кирхгофа \(U_1 + \varepsilon + U_2 - 3\varepsilon = 0\). Откуда \(U_1 = U_2 = \varepsilon = 2\) В.

После замыкания ключа \(K_2\) конденсатор, имеющий напряжение \(U_1\), мгновенно перезарядится до напряжения \(3\varepsilon\), при этом на ключе выделится часть тепла в виде искры. После этого начнется перезарядка второго конденсатора в правом контуре. Заряд, протекший через источник с \(\varepsilon\), равен \(2C\varepsilon\). По закону сохранения энергии \[2C\varepsilon\cdot\varepsilon + \frac{C\varepsilon^2}{2} = \frac{C\varepsilon^2}{2} + Q.\] Отсюда \(Q = 2C\varepsilon^2 = 8\) мкДж.

Токи через вольтметры пренебрежимо малы, поэтому через резисторы \(2R\) и \(3R\) течёт один и тот же ток. Выразите показания вольтметров через разности потенциалов узлов и запишите связь для центрального узла.

\(U_1 = 14\) В, \(U_2 = 2\) В.

Из-за большого сопротивления вольтметров ток, текущий через них, пренебрежимо мал. Пусть через резисторы \(2R\) и \(3R\) идет ток \(I\), тогда через резистор \(R\) идет ток \(5I\). Выразим суммарные показания вольтметров через разности потенциалов узлов, к которым они подключены: \(U_1 + U_3 = U\), \(U_2 + U_3 = \dfrac{3}{5}U\) (здесь \(U\) — напряжение на резисторе \(R\), то есть между точками \(A\) и \(B\)). С учетом первого закона Кирхгофа для центрального узла схемы \(U_1 + U_2 = U_3\). Решая систему уравнений, получим: \(U_1 = \dfrac{7}{15}U\), \(U_2 = \dfrac{1}{15}U\), \(U_3 = \dfrac{8}{15}U\), или \(U_1 = 14\) В, \(U_2 = 2\) В.

Напряжение на катушке равно разности напряжений на конденсаторах, а их сумма сохраняется (закон сохранения заряда). Запишите ещё и закон сохранения энергии с заданным условием.

\(\left|\dfrac{di}{dt}\right| = \dfrac{U_0}{\sqrt{3}\,L} = 100\) А/с.

По закону сохранения заряда после замыкания ключа \(U_0 = U_1 + U_2\), при этом \(-L\dfrac{di}{dt} = U_1 - U_2\).

Закон сохранения энергии, с учетом условия, имеет вид: \[\frac{C U_0^2}{2} = \frac{3}{2}\left(\frac{C U_1^2}{2} + \frac{C U_2^2}{2}\right).\] Решая систему, получим \(U_1 = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{6}U_0\) и \(U_2 = \dfrac{3 \mp \sqrt{3}}{6}U_0\), откуда \[\left|\frac{di}{dt}\right| = \frac{U_0}{\sqrt{3}\,L} = 100 \text{ А/с}.\]