МОШ, 2016/17, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Ускорения неизвестны, но они и не нужны: путь равен площади под графиком скорости от времени. Какую фигуру образует этот график?

Ответ

\(s = \dfrac{1}{2}V\tau = 100\) м.

Решение

Качественно изобразим график скорости от времени. Площадь под графиком численно равна пройденному пути. Окончательно получаем \[s = \frac{1}{2}V\tau = 100\text{ м}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого из трёх грузов (сила натяжения нити одна и та же) и добавьте связь между их ускорениями, следующую из нерастяжимости нити.

Ответ

\(a = \dfrac{1}{8}\,g\).

Решение

Запишем 2-й закон Ньютона в проекциях на оси \(x\) и \(y\): \[\begin{cases} T = m a_{1x},\\ T = 3m a_{2x},\\ mg - 2T = m a_{3y}, \end{cases}\] где \(T\) — силы реакции со стороны нити, \(a_{1x}\) — проекция ускорения верхнего груза массой \(m\), \(a_{2x}\) — проекция ускорения груза массой \(3m\), \(a_{3y}\) — проекция ускорения нижнего груза массой \(m\).

Запишем уравнение кинематической связи ускорений грузов: \[2a_{3y} - a_{1x} - a_{2x} = 0.\] Решая систему из 4-х уравнений, окончательно получаем: \[a_{2x} = \frac{1}{8}\,g.\]

Подсказка

Рассмотрите систему «ведро + вода + кирпич» целиком: какие внешние силы на неё действуют? Сравните с весом, который был бы, если бы вода не выливалась.

Ответ

Вылилось 0,5 кг воды.

Решение

Решение 1. На кирпич действуют три силы: сила тяжести 25 Н (направлена вниз), сила Архимеда 10 Н (направлена вверх) и сила реакции со стороны нити. Так как кирпич покоится, значит сила реакции нити равна 15 Н (направлена вверх).

На систему «ведро + вода + кирпич» действует вверх две внешние силы — 100 Н со стороны динамометра, 15 Н со стороны верёвки — и уравновешивающая сила тяжести, направленная вниз, которая, очевидно, равна 115 Н.

Если бы вода не выливалась из ведра, тогда сила тяжести в конечном состоянии равнялась бы \(95 + 25 = 120\) Н, следовательно, вылилось 0,5 кг воды.

Решение 2. Динамометр показывает вес ведра с водой. Если долить в него воду или поместить в воду тело, которое не давит на само ведро, а только вытесняет воду и повышает ее уровень в ведре, то его вес увеличится. Поскольку вес увеличился на 5 Н, а объем кирпича равен 1 литру, то очевидно, что половина вытесненной кирпичом воды вылилась.

Подсказка

При \(0\,{}^\circ\)C в калориметре может быть и лёд, и вода. Рассмотрите два крайних случая: весь лёд остался нерастаявшим и вся вода осталась жидкой, а лёд только нагрелся и ничего не растопил.

Ответ

\(0{,}113\text{ кг} < m_\text{л} < 2{,}57\text{ кг}\).

Решение

В конечном состоянии при температуре \(0\,{}^\circ\)C содержимое калориметра может находиться как в виде льда, так и в виде воды. Рассмотрим оба крайних случая. Пусть в конечном состоянии в калориметре только лёд при \(0\,{}^\circ\)C. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид: \[m_1 c_\text{л}(t - t_2) = m\bigl(c(t_1 - t) + \lambda\bigr),\] где \(m_1\) — максимальная масса добавленного льда. Выражая \(m_1\), получим: \[m_1 = \frac{m\bigl(c(t_1 - t) + \lambda\bigr)}{c_\text{л}(t - t_2)} = 2{,}57\text{ кг}.\] Если в конечном состоянии в калориметре вода при \(0\,{}^\circ\)C, то уравнение теплового баланса запишется так: \[m c(t_1 - t) = m_2 c_\text{л}(t - t_2) + m_2\lambda,\] где \(m_2\) — минимальная масса добавленного льда. Выражая \(m_2\), получим: \[m_2 = \frac{m c(t_1 - t)}{c_\text{л}(t - t_2) + \lambda} = 0{,}113\text{ кг}.\] Окончательный ответ: в калориметр могло быть добавлено \(0{,}113\text{ кг} < m < 2{,}57\text{ кг}\) льда.

Подсказка

Идеальный амперметр — это провод: какие точки схемы при этом оказываются под одним потенциалом? Перерисуйте схему и найдите токи через резисторы, потом разберитесь, какие токи идут через амперметры.

Ответ

\(A_1\) показывает 18 А, \(A_2\) — 12 А.

Решение

Вначале найдём токи через резисторы. При расчёте этих токов амперметры можно заменить проводами с нулевым сопротивлением. Значит, потенциалы точек \(А\), \(В\) и \(Б\), \(Г\) попарно равны.

Расставим токи в схеме с учётом закона Ома и закона сохранения заряда (см. рис.).

Амперметры \(A_1\), \(A_2\) будут показывать токи 18 А, 12 А соответственно.