зад 1 Шины и спидометр
Согласно техническому паспорту, Васиной машине предназначены 15-дюймовые колёсные диски с диаметром шин 627 мм. Когда пришло время сменить машине шины, Вася решил покрасоваться, и он купил 16-дюймовые диски с диаметром шин 652 мм. На сколько секунд изменится время прохождения 1 км с новыми шинами, если машина едет, согласно спидометру, со скоростью 90 км/ч? Спидометр машины измеряет скорость по числу оборотов колеса.
▶ПодсказкаСкрыть
Спидометр считает обороты колеса, а не пройденный путь. Как за один оборот меняется путь при смене диаметра?
▶ОтветСкрыть
Время уменьшится примерно на \(1{,}5\text{ с}\).
▶РешениеСкрыть
Когда колёса автомобиля совершают один полный оборот, автомобиль проходит расстояние, равное \(\pi d_1\), где \(d_1\) — диаметр «правильных» колёс. Число оборотов колёс в секунду в этом случае равно \[n_1 = \frac{v_1 t}{\pi d_1},\] где \(v_1 = 90\text{ км/ч}\), \(t = 1\text{ с}\).
В случае «неправильных» колёс, хоть спидометр и показывает скорость \(v_1\), автомобиль движется со скоростью \[v_2 = \frac{n_1 \pi d_2}{t} = v_1 \frac{d_2}{d_1}.\] Таким образом, автомобиль с новыми шинами проходит 1 км быстрее на \[\Delta t = \frac{S}{v_1} - \frac{S}{v_2} \approx 1{,}5\text{ с}.\]
зад 2 Гвоздь в плавающем стакане
Внутри плавающего стакана лежит гвоздь. Объём погруженной части стакана в воду равен \(V_1 = 388\) мл. Когда гвоздь вынули из стакана и опустили в воду, предварительно привязав его ниткой к дну стакана, то он повис, не касаясь дна. Объём погруженной части стакана в воду равен \(V_2 = 372\) мл. Затем нить перерезали. Объём погруженной части стакана в воду уменьшился до \(V_3 = 220\) мл. Во сколько раз плотность гвоздя больше плотности воды?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните массы вытесненной воды в трёх состояниях: разница между ними связана с весом гвоздя и его объёмом.
▶ОтветСкрыть
\(\rho/\rho_0 = 10{,}5\).
▶РешениеСкрыть
В первом и втором случаях объём вытесненной воды одинаков, ведь по закону Архимеда её вес равен суммарному весу гвоздя и стакана. Если \(V\) — объём гвоздя, то \[V + V_2 = V_1.\] В первом и третьем случае масса вытесненной воды отличается на массу гвоздя, то есть \[\rho V = \rho_0 (V_1 - V_3),\] где \(\rho\) — плотность гвоздя, а \(\rho_0\) — воды. Окончательно получаем \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{V_1 - V_3}{V_1 - V_2} = 10{,}5.\]
зад 3 Нагревание и остывание воды
Закрытый сосуд с водой массой \(m\) поставили на нагревательный элемент в результате чего, температура жидкости повысилась от \(70\,^\circ\)С до \(71\,^\circ\)С за 7 с. Если увеличить массу воды в два раза, а мощность нагревательного элемента в три раза, то изменение температуры от \(70\,^\circ\)С до \(71\,^\circ\)С происходит за 4 секунды. Найдите время, за которое температура воды массой \(2m\) понизится от \(71\,^\circ\)С до \(70\,^\circ\)С, если нагревательный элемент отключить? Теплоёмкостью самого сосуда пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Сосуд теряет тепло в окружающую среду. Считайте, что в этом узком интервале температур мощность потерь одна и та же во всех трёх опытах.
▶ОтветСкрыть
\(t_3 = 56\text{ с}\).
▶РешениеСкрыть
Считаем, что в указанном интервале температур ежесекундный отток тепла \(q\) одинаков — во всех случаях «охлаждение» происходит с поверхности сосуда. Тогда тепловой баланс даёт следующие соотношения: \[\begin{align*} C\Delta T &= (N - q)\,t_1,\\ 2C\Delta T &= (3N - q)\,t_2,\\ 2C\Delta T &= q\,t_3, \end{align*}\] где \(t_1 = 7\text{ с}\), \(t_2 = 4\text{ с}\), \(C\) — теплоёмкость воды массой \(m\).
Отсюда находим \(t_3 = 56\text{ с}\).
зад 4 Резисторы, амперметр и вольтметр
Четыре резистора, амперметр и вольтметр подключили к идеальной батарейке с \(U_0 = 9\) В, как показано на рисунке. Найдите показания идеальных приборов, если \(R = 1\) Ом.
▶ПодсказкаСкрыть
Через идеальный амперметр можно считать, что нет падения напряжения, а через идеальный вольтметр ток не идёт. Какие резисторы при этом оказываются соединены параллельно, а какой выпадает из цепи?
▶ОтветСкрыть
Амперметр показывает \(1\text{ А}\), вольтметр — \(8\text{ В}\).
▶РешениеСкрыть
Так как амперметр идеальный, следовательно, через «нижний» резистор \(R\) ток не течёт. Общее сопротивление цепи: \[R_{\text{общ}} = 4R + \frac{R}{2} = 4{,}5R = 4{,}5\text{ Ом}.\]
Ток, протекающий через батарейку, равен \(2\text{ А}\). Показание амперметра равно \(1\text{ А}\). Показание вольтметра \(8\text{ В}\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2018/19, отборочный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.