МОШ, 2018/19, заключительный этап, 9 класс

В 1882 году на электротехнической выставке в Мюнхене была продемонстрирована работа первой в мире длинной (несколько десятков километров) линии электропередач. Линия соединяла город Мисбах, где находился приводимый в движение паровой машиной генератор постоянного тока, и город Мюнхен, где такой же генератор работал в качестве электродвигателя и был потребителем тока. Линия состояла из двух стальных телеграфных проводов диаметром \(d = 4{,}5\) мм (удельное сопротивление стали \(\rho = 1{,}3 \cdot 10^{-7}\text{ Ом}\cdot\text{м}\)), длина каждого провода \(L\) была приближённо равна расстоянию 57 км между Мисбахом и выставкой в Мюнхене. Когда генератор в Мисбахе выдавал напряжение \(U = 2\) кВ, КПД линии составлял примерно \(\eta \approx 25\) %. Несмотря на небольшой КПД, проведённый эксперимент продемонстрировал принципиальную возможность передачи электроэнергии на большие расстояния. Определите, какова была сила тока в этой линии при указанных параметрах.

Балансборд — тренажёр для тренировки чувства равновесия (рис. 1), представляет собой жёсткую доску, лежащую на цилиндрическом ролике. Базовое упражнение заключается в том, чтобы сохранять равновесие, перекатываясь на ролике, при этом желательно, чтобы доска располагалась практически горизонтально. Пусть взаимодействие ступней ног с доской происходит в т. \(A\) и \(B\) (см. рис. 2), и положение т. \(A\) и \(B\) относительно доски не меняется при выполнении упражнения. Ролик по полу и по доске не проскальзывает. В крайнем правом положении расстояния по горизонтали между точками \(A\) и \(B\) и вертикальной прямой, на которой лежит ось ролика \(C\), равны \(L_1\) и \(L_2\) соответственно. Человек перекатывается в крайнее левое положение, в котором расстояние между точкой \(A\) и \(C\) по горизонтали становится равным \(L_2\).

1. На какое расстояние по горизонтали смещается центр масс человека: относительно доски; относительно земли?

2. На какое расстояние по горизонтали смещается т. \(A\)?

В цилиндрическую кастрюлю, радиус основания которой равен \(R = 10\) см, налита вода и опущен кусок льда массой \(m = 400\) г. В этот кусок вморожена нитка, привязанная к воздушному шарику объёмом \(V = 8\) л, заполненному гелием. При этом уровень воды в кастрюле равен \(h = 30\) см. Кусок льда постепенно тает. В некоторый момент кусок льда уменьшается настолько, что воздушный шарик поднимает его над поверхностью воды. После этого шарик и лёд улетают. Чему в результате станет равен уровень воды в кастрюле? Плотность воды равна \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), льда — \(\rho_2 = 900\) кг/м\(^3\), воздуха — \(\rho_3 = 1{,}25\) кг/м\(^3\), гелия — \(\rho_4 = 0{,}18\) кг/м\(^3\), массой оболочки шарика можно пренебречь. Считайте, что масса капель воды, образовавшихся при таянии льда и упавших в кастрюлю после отрыва льда от поверхности воды, пренебрежимо мала. Некоторые числовые данные не являются необходимыми для решения, но их можно использовать, если так вам будет проще.

На рис. 3 вы видите фрагмент амплитудно-временной характеристики звука ударов футбольного мяча о пол, записанного с помощью микрофона и программы Audacity при достаточно большой частоте дискретизации. Цифры над делениями горизонтальной шкалы — время в секундах. Мяч был отпущен без начальной скорости с некоторой высоты. Первый пик соответствует первому столкновению мяча с полом. Определите приближённо:

1. с какой высоты был отпущен мяч;

2. сколько времени мяч находится в воздухе между пятым и шестым ударами;

3. сколько всего времени прыгал мяч.

Первая оценка скорости света была дана Рёмером в 1675 году. Изучая движение Ио (спутника Юпитера), он получил значение близкое к 220000 км/с. Орбита Ио расположена в плоскости орбиты Земли, поэтому спутник периодически исчезает в тени Юпитера. Интервал между двумя последовательными появлениями Ио из тени Юпитера в среднем равен 42,5 ч. Однако, согласно современным исследованиям при различных положениях Солнца, Земли и Юпитера этот интервал может отклоняться от среднего значения не более, чем на 16 с в большую или меньшую сторону. По представленным данным определите скорость света, если расстояние от Земли до Солнца составляет \(1{,}5 \cdot 10^8\) км. Можно считать, что орбитальная скорость Юпитера вокруг Солнца намного меньше, чем у Земли.

На рис. 1 изображена схема делителя напряжения Кельвина-Варлея. Сопротивления резисторов одного столбца (столбцы показаны пунктиром) — одинаковые, в разных столбцах — разные сопротивления. Если на выводы \(A\) и \(B\) подать постоянное напряжение \(U_0\), то на выводах \(C\) и \(D\) напряжение будет равно \(U_1 = \alpha U_0\), где значение коэффициента \(\alpha\) \((0 < \alpha < 1)\) зависит от положения контактов, обозначенных чёрными стрелками. Изменяя положение контактов, значение коэффициента \(\alpha\) можно подобрать с точностью до одной десятитысячной. Между соседними контактами (во всех столбцах кроме последнего) всегда должна быть одна свободная клемма. Для положения контактов, показанного на рисунке чёрными стрелками, \(\alpha = 0{,}2073\). Если изменить положение контактов во втором столбце так, как показано светло-серыми стрелками, коэффициент умножения станет равен \(\alpha = 0{,}2573\). Положение контактов в первом столбце определяет цифру в разряде десятых в значении коэффициента \(\alpha\), во втором — цифру в разряде сотых и так далее. Считая известным сопротивление \(R\) резисторов в последнем столбце, определите сопротивления резисторов в остальных столбцах. При каком положении контактов коэффициент \(\alpha\) будет равен \(\alpha_0 = 0{,}2019\)?

Стальной шарик (\(m = 110\) г, \(R = 1{,}5\) см, \(c = 500\) Дж/кг\(\cdot{}^\circ\)C), нагретый до температуры \(T_1 = 500\,^\circ\)C, лежит на теплоизолирующей подставке в прозрачном сосуде, который заполняют дистиллированной водой (\(m_0 = 0{,}4\) кг, \(T_0 = 20\,^\circ\)C), так что шарик оказывается примерно в середине столба воды. Наблюдается интересное явление. Вокруг шарика очень быстро образуется тонкая паровая плёнка, после этого некоторое время толщина плёнки остаётся постоянной, равной \(d = 0{,}5\) мм, образование пузырьков пара (как при кипении) не наблюдается, теплообмен между водой и шариком происходит через плёнку. В момент, когда температура шарика уменьшается до \(T_2 = 250\,^\circ\)C, плёнка <<срывается>> — и в жидкости вблизи шарика начинается бурное кипение, которое продолжается до тех пор, пока температура шарика не уменьшится до \(T_\text{к} = 100\,^\circ\)C. Можно считать, что в процессах образования плёнки и пузырькового кипения всё количество теплоты, отданное шариком, идёт на испарение воды, но треть пара во всплывающих пузырьках (образовавшихся при кипении) конденсируется. Теплообменом с окружающей средой и теплоизолирующей подставкой, а также нагревом пара можно пренебречь. Определите температуру воды к моменту окончания теплообмена между шариком и водой. Удельная теплоёмкость и теплота испарения воды равны \(c_0 = 4200\) Дж/кг\(\cdot{}^\circ\)C и \(L = 2{,}2 \cdot 10^6\) Дж/кг. Средняя плотность пара равна \(\rho \approx 0{,}6\) кг/м\(^3\). Объём шара радиусом \(R\) определяется по формуле \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).

Три плоских зеркала внутри трубки калейдоскопа образуют призму с равносторонним треугольником в сечении, перпендикулярном оси трубки. Через маленькое отверстие в заглушке, закрывающей торец трубки, можно наблюдать цветные стёклышки, находящиеся на другом торце, а также множественные отражения этих стёклышек в зеркалах (рис. 2). На рис. 3 вы видите фрагмент фотографии картины, наблюдаемой в калейдоскопе. При фотографировании объектив фронтальной камеры смартфона был прижат к глазку калейдоскопа. Белые линии, совпадающие с плоскостями зеркал или параллельные им, проведены позднее в графическом редакторе. Известно, что внутри чёрного треугольника видны непосредственно цветные стёклышки, которые можно назвать предметом. Внутри остальных треугольников — их изображения в зеркалах (изображения предмета).

Какое максимальное количество отражений от зеркал калейдоскопа испытывают лучи, формирующие изображения на рис. 3? Рис. 4 имитирует картину, наблюдаемую в калейдоскопе. Чему равно максимальное количество отражений в этом случае? Обратите внимание, что положение предмета на рис. 4 неизвестно.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2018/19, заключительный этап, 9 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.