зад 1 Часы PSR B1937+21
В современной метрологии эталонным прибором для измерения времени являются атомные часы. Перспективной альтернативой атомным часам могут стать пульсары — быстро вращающиеся нейтронные звезды. Некоторые пульсары обладают поразительной стабильностью вращения, испуская при каждом обороте звезды (через равные промежутки времени) радиосигналы, которые могут быть зарегистрированы на Земле. Пульсар PSR B1937+21 — яркий тому пример.
Период вращения пульсара PSR B1937+21 равен \(T = 1{,}557806449\) мс, погрешность измерения этого значения равна \(\Delta T = 5 \cdot 10^{-12}\) с. Скорость вращения пульсара может немного изменяться из-за внутренних процессов в звезде. Для учёта этого фактора будем считать, что погрешность измерения периода пульсара увеличивается на 1 пикосекунду (\(10^{-12}\) с) каждые 5 лет, причём это увеличение происходит скачком в конце каждого пятилетнего периода. Предположим, что часы на основе пульсара используются для измерения большого промежутка времени \(t\). При каком значении \(t\) накопленная погрешность измерения станет равна 1 секунде? Считайте, что среднее значение периода вращения пульсара постоянно и равно \(T\). Ответ выразите в годах.
▶ПодсказкаСкрыть
Накопленная погрешность равна числу периодов, умноженному на погрешность одного периода. Сначала найдите погрешность за первые пять лет, а потом подумайте, как она растёт при скачках.
▶ОтветСкрыть
Приблизительно \(9{,}1\) лет.
зад 2 Течение Пуазейля
Объёмным расходом жидкости \(Q\) при течении по трубе называется объём жидкости, проходящий через поперечное сечение трубы в единицу времени. Формула Пуазейля используется для расчёта объёмного расхода при течении жидкости по трубе постоянного сечения с учётом вязкого трения. В случае небольшой скорости течения она имеет вид \[Q = A \cdot \Delta p^{x} \cdot R^{y} \cdot \nu^{z} \cdot l^{-1},\] где \(\Delta p\) — перепад давления на концах трубы; \(R\) и \(l\) — радиус и длина трубы соответственно; \(\nu\) — коэффициент динамической вязкости жидкости, которая измеряется в кг/(м\(\cdot\)с); \(A\), \(x\), \(y\), \(z\) — некоторые безразмерные постоянные.
Пользуясь соображениями размерности, определите значения постоянных \(x\), \(y\) и \(z\).
Во сколько раз изменится скорость потока жидкости в водопроводной сети, если при том же давлении на входе увеличить диаметр труб вдвое?
▶ПодсказкаСкрыть
Выпишите единицы \(Q\), \(\Delta p\), \(R\), \(\nu\), \(l\) и потребуйте, чтобы справа и слева стояли одинаковые степени кг, м и с. Для пункта б) свяжите расход со скоростью и площадью сечения.
▶ОтветСкрыть
1) \(x = 1\), \(y = 4\), \(z = -1\); 2) скорость течения жидкости увеличится в 4 раза.
зад 3 Изменение объёма
Измерение коэффициента объёмного расширения жидкости осложняется тем, что объём сосуда также изменяется с температурой. Представленный на рисунке прибор позволяет преодолеть эту трудность. В нём одно колено U-образной трубки, заполненной исследуемой жидкостью, находится в банке со льдом и водой, а другое — в термостате с температурой \(T > 0\,^\circ\text{C}\). Соединительная трубка расположена горизонтально. В ходе эксперимента были измерены высоты столбов \(h\) и \(h_0\), а температура воды в термостате равнялась \(T\). Чему равен коэффициент объёмного расширения \(\beta\) жидкости?
Указание. Если при \(0\,^\circ\text{C}\) объём жидкости равен \(V_0\), то при температуре \(T\) её объём даётся формулой \(V = V_0(1 + \beta T)\).
▶ПодсказкаСкрыть
Масса жидкости при нагреве не меняется, а объём растёт, значит, меняется плотность. Сравните давления в обоих коленах на уровне горизонтальной трубки.
▶ОтветСкрыть
\(\beta = \dfrac{1}{T}\left(\dfrac{h}{h_0} - 1\right)\).
зад 4 Бесконечность не предел
Из очень большого количества одинаковых двухступенчатых блоков массой \(M = 420\) г каждый и лёгких нитей собрана приведённая на рисунке система. Определите показания динамометра Д, если больший и меньший радиусы ступеней блоков равны соответственно \(R = 10\) см и \(r = 5\) см. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) Н/кг. Трение в осях блоков пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждого блока запишите условие равновесия сил и моментов относительно его оси. Система бесконечна, поэтому часть, начиная со второго блока, устроена так же, как вся система целиком.
▶ОтветСкрыть
\(3\) Н.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2024/25, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.