зад 1 Ортогональные скорости
Обруч катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Плоскость обруча при этом всё время остаётся вертикальной. Ось обруча движется равномерно и прямолинейно со скоростью \(v_0 = 1{,}73\) м/с. В некоторый момент векторы скоростей двух точек обруча 1 и 2 оказываются ортогональны (векторы скоростей лежат на перпендикулярных прямых), при этом отношение абсолютных величин скоростей этих точек оказывается равно \(\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt3\).
Определите по этим данным величину скорости \(v_1\). Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
Определите величину скорости \(v_2\). Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
Найдите скорость точки 2 относительно системы отсчёта, движущейся поступательно со скоростью точки 1. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость каждой точки катящегося обруча перпендикулярна отрезку, соединяющему её с точкой касания поверхности. Что из этого следует для углов между такими отрезками?
▶ОтветСкрыть
1) \(v_1 = v_0\sqrt3 = 3\) м/с; 2) \(v_2 = v_0 \approx 1{,}7\) м/с; 3) \(v_{21} = 2v_0 \approx 3{,}5\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Обозначим через \(C\) точку, в которой обруч касается горизонтальной поверхности. Эта точка является мгновенным центром скоростей. Поскольку векторы \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) ортогональны, отрезки \(C1\) и \(C2\) перпендикулярны. Пусть точка \(O\) "— центр обруча, обозначим \(\angle OC1\) за \(\varphi\), тогда \(\angle OC2 = \dfrac{\pi}{2} - \varphi\). Отсюда имеем соотношение для определения угла \(\varphi\): \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{2\omega R\cos\varphi}{2\omega R\sin\varphi} = \operatorname{ctg}\varphi .\] Произведение \(\omega R\) есть скорость оси обруча \(v_0\), поэтому искомые скорости равны: \[v_1 = 2\omega R\cos\varphi = 2v_0\cos\varphi = 2v_0\,\frac{\operatorname{ctg}\varphi}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}} = v_0\sqrt3, \qquad v_2 = v_0 .\] Вектор относительной скорости \(\vec v_{21}\) равен разности векторов \(\vec v_2\) и \(\vec v_1\). Поскольку эти два вектора ортогональны, абсолютная величина относительной скорости находится по теореме Пифагора: \(v_{21} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = 2v_0\).
зад 2 Маленькие шарики из пушки
Из специального аппарата, находящегося на большой высоте над Землёй, одновременно вылетают три одинаковых маленьких шарика \(A\), \(B\) и \(C\) с одинаковой по модулю начальной скоростью \(v_0\). Векторы начальных скоростей шариков лежат в одной вертикальной плоскости, при этом вектор начальной скорости шарика \(A\), \(\vec v_{A0}\), направлен вертикально вверх; вектор \(\vec v_{B0}\) образует угол \(60^\circ\) с \(\vec v_{A0}\); вектор \(\vec v_{C0}\) направлен противоположно \(\vec v_{B0}\). Через время \(\tau = 1\) с после вылета расстояние между шариками \(A\) и \(B\) стало равно \(S_{AB} = 5\) м. Сопротивлением воздуха, а также зависимостью ускорения свободного падения \(g\) от высоты можно пренебречь. Найдите следующие величины.
Модуль начальной скорости \(v_0\). Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
Расстояние \(S_{AC}\) между шариками \(A\) и \(C\), а также расстояние \(S_{BC}\) между шариками \(B\) и \(C\) в момент времени \(\tau\). Ответы дайте в метрах, округлите до десятых.
Модули скоростей шариков в момент времени \(\tau\). Ответы дайте в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта, свободно падающую с ускорением \(g\): как в ней движутся шарики и какую фигуру они образуют в любой момент?
▶ОтветСкрыть
1) \(v_0 = \dfrac{S_{AB}}{\tau} = 5\) м/с; 2) \(S_{AC} = S_{AB}\sqrt3 \approx 8{,}7\) м, \(S_{BC} = 2S_{AB} = 10\) м; 3) \(v_A = v_0 = 5\) м/с, \(v_B = v_0\sqrt3 \approx 8{,}7\) м/с, \(v_C = v_0\sqrt7 \approx 13{,}2\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Ответы на вопросы, поставленные в первых двух пунктах этой задачи, можно получить устно, если рассмотреть движение шариков в системе отсчёта, падающей вниз с ускорением \(g\). Для ответа на вопросы, поставленные в последнем пункте, можно найти горизонтальные и вертикальные проекции скоростей и далее вычислить модули.
зад 3 Блок и соскальзывающие грузы
Блоки в системе, изображённой на рис. 1, идеальные, нить невесомая и нерастяжимая. К подвижному блоку присоединён груз массой \(2m = 200\) г. Каждый из одинаковых грузов массой \(m = 100\) г представляет собой цилиндр, по оси которого просверлено отверстие небольшого диаметра, через которое пропущена нить, обработанная специальной смазкой, так что трение между грузом и нитью можно считать вязким. Сила вязкого трения даётся формулой \(F = \alpha u\), где \(u\) "— скорость нити относительно груза, коэффициента пропорциональности \(\alpha = 0{,}25\) кг/c. В начальный момент времени грузы удерживаются, при этом крайние грузы находятся на одинаковой высоте над Землёй, нить не натянута и не провисает. В некоторый момент времени грузы отпускают. Длина нити достаточно велика, так что можно считать, что в процессе движения грузы массой \(m\) не соскальзывают с нити. Отрезки нити, не лежащие на блоках при движении всё время остаются вертикальными.
Чему равна сила натяжения нити в момент, когда крайний левый груз движется с ускорением \(\dfrac{g}{2} = 5\) м/с\(^2\). Ответ дайте в Ньютонах, округлите до десятых.
На какое расстояние относительно начального положения опускается груз массой \(2m\) к тому моменту, когда крайний левый груз проходит 10 см от начального положения? Ответ дайте в см, округлите до целого.
До какой максимальной скорости разгоняется груз массой \(2m\) в процессе движения? Ответ дайте в м/с, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для крайнего груза и для участка нити внутри него: масса нити нулевая, а значит, сила трения и натяжение связаны особенно просто. Как тогда связаны ускорения блока и крайних грузов?
▶ОтветСкрыть
1) \(T = \dfrac{mg}{2} = 0{,}5\) Н; 2) \(S = 10\) см; 3) \(v_A = \dfrac{mg}{2\alpha} = 2\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Следует записать уравнения второго закона Ньютона для одного из крайних грузов, для среднего груза, а также для участка нити, находящегося внутри одного из крайних грузов. Следует учесть, что скорость любого конца нити равна по модулю скорости подвижного блока. Из полученной системы уравнений следует равенство ускорений блока и крайних грузов в любой момент времени, а также равенство силы натяжения нити и силы вязкого трения.
зад 4 Столкновение шайб
Две гладкие шайбы одинакового размера, но разных масс могут двигаться по горизонтальной поверхности без трения (см. рис. 2, вид сверху). Шайба массой \(m_2\) изначально покоится. Скорость шайбы массой \(m_1\) в тот же момент равна \(v = 8\) м/c. Прицельный параметр \(d\) "— расстояние между линией, вдоль которой движется центр шайбы \(m_1\) и центром шайбы \(m_2\), "— равен \(r\sqrt2\). В некоторый момент шайбы сталкиваются, при этом столкновение можно считать упругим в том смысле, что потери энергии при столкновении не происходит. Известно, что после столкновения скорость шайбы массой \(m_2\) становится равна \(\dfrac{v\sqrt2}{4}\).
Чему равно отношение масс шайб \(\dfrac{m_2}{m_1}\)? Ответ округлите до целого.
С какой скоростью движется шайба массой \(m_1\) после столкновения? Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Линия центров в момент удара задаёт нормаль: вдоль неё работают законы сохранения, а перпендикулярная ей компонента скорости каждой шайбы не меняется. Чему равен угол между линией центров и начальной скоростью?
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{m_2}{m_1} = 3\); 2) \(v_1' = \dfrac{v\sqrt{10}}{4} \approx 6{,}3\) м/с.
▶РешениеСкрыть
При абсолютно упругом столкновении гладких шайб разность нормальных компонент скоростей шайб меняет знак. Нормалью в данном случае является перпендикуляр к общей касательной в точке соприкосновения шайб. Этот факт может быть получен из законов сохранения импульса и энергии.
зад 5 Связанные цепи
В электрической цепи, схема которой представлена на рис. 3, величина сопротивления \(R\) равна 1 кОм, напряжение \(U\) на выводах идеального источника равно 6 В.
К клеммам \(A\) и \(B\) подключают идеальный амперметр. Определите его показания. Ответ дайте в мА, округлите до целого.
Вместо идеального амперметра к клеммам \(A\) и \(B\) подключают идеальный вольтметр. Чему равно измеренное им напряжение? Ответ дайте в вольтах, округлите до целого.
В цепи, схема которой представлена на рис. 4, значения параметров \(U\) и \(R\) такие же, как в предыдущей цепи (\(U = 6\) В, \(R = 1\) кОм). Цифры в кружках обозначают номер идеального источника (1 или 2).
Определите ток, текущий через источник 1. Ответ дайте в мА, округлите до целого.
Определите ток, текущий через источник 2. Ответ дайте в мА, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Двухполюсник между \(A\) и \(B\) можно заменить эквивалентным источником: найдите его ЭДС (напряжение холостого хода) и внутреннее сопротивление (при закороченном источнике \(U\)).
▶ОтветСкрыть
1) \(I_{AB} = \dfrac{U}{3R} = 2\) мА; 2) \(U_{AB} = \dfrac{U}{2} = 3\) В; 3) \(I_1 = \dfrac{U}{3R} = 2\) мА; 4) \(I_2 = \dfrac{U}{2R} + \dfrac{U}{3R} = \dfrac{5U}{6R} = 5\) мА.
▶РешениеСкрыть
Ответы на последние два вопроса наиболее просто, на наш взгляд, получаются при помощи метода эквивалентного источника: двухполюсник с выводами \(A\) и \(B\) можно заменить на идеальный источник с \(\mathcal{E} = \dfrac{U}{2}\) и внутренним сопротивлением \(r = \dfrac{3R}{2}\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2025/26, отборочный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.