«Надежда энергетики», 2015/16, отборочный этап, 10 класс

Скорость гребней относительно воды найдите по времени, за которое гребень проходит лодку. Далее перейдите в систему отсчёта лодки: там гребни проходят мимо носа быстрее.

\(T_1=\dfrac{1}{3}\) с.

Скорость перемещения гребня волны \(u=\dfrac{L}{T}\); расстояние между ближайшими гребнями (длина волны) \(\lambda=2u\tau\), где \(\tau\) — полупериод волны. В системе отсчёта, связанной с движущейся лодкой, гребни пробегают мимо лодки со скоростью \(v_1=v+u\). Минимальный промежуток времени между ударами волн о нос лодки: \[T_1=\frac{\lambda}{v_1}=\frac{2u\tau}{v+u}=\frac{2L\tau}{L+vT}=\frac{2\cdot 2\cdot 1}{2+5\cdot 2}=\frac{1}{3}~\text{с}.\]

Запишите напряжение на вольтметре в каждой из трёх схем через ЭДС \(E\), внутреннее сопротивление \(r\), сопротивление вольтметра \(R_V\) и \(R\). Затем разделите уравнения друг на друга.

Показания вольтметра вырастут в \(4\) раза.

В исходной цепи: \[U_V=\frac{ER_V}{r+R+R_V}, \qquad (1)\] после замены резистора: \[2U_V=\frac{ER_V}{r+\dfrac{R}{3}+R_V}=\frac{3ER_V}{3(r+R_V)+R}, \qquad (2)\] в окончательном виде (без резистора): \[XU_V=\frac{ER_V}{r+R_V}. \qquad (3)\] Если поделить (2) на (1), то получим \(2=\dfrac{3(r+R_V+R)}{3(r+R_V)+R}\), откуда \(r+R_V=\dfrac{R}{3}\). Тогда, поделив (3) на (1), получаем: \[X=\frac{r+R_V+R}{r+R_V}=\frac{\dfrac{R}{3}+R}{\dfrac{R}{3}}=4.\] Ответ: показания вольтметра по сравнению с первоначальными вырастут в 4 раза.

Из уравнения процесса и уравнения состояния идеального газа найдите, как давление зависит от объёма. Работа равна площади под графиком в координатах \(p\)–\(V\).

\(300\) Дж.

Объединим уравнение процесса и уравнение состояния идеального газа: \[\frac{p^2}{T}=\mathrm{const}, \qquad \frac{pV}{T}=\mathrm{const}.\] Тогда получим \(p=kV\). Работа равна площади трапеции под графиком: \[A=\frac{1}{2}(p_1+p_2)(V_2-V_1)=\frac{p_1V_1}{2}\left(\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2-1\right).\] Ответ: \(300\) Дж.

Провод массой учитывайте как распределённую нагрузку: сила натяжения в точке крепления к фонарю складывается из веса фонаря и веса части провода, а у потолка — из веса всего провода.

\(T=\dfrac{23}{4}\) Н\(\approx5{,}75\) Н.

Из официального решения: \(T_0^2=(mg)^2+T_x^2\), \(T^2=(2mg)^2+T_x^2\), \(T=T_0+mg\dfrac{h}{l}\), где \(h\) — расстояние между фонарём и потолком, \(l\) — длина провода. Отсюда \[T+T_0=3mg\frac{l}{h}, \qquad T-T_0=mg\frac{h}{l}.\] \[T=\frac{mg}{2}\left(\frac{3l}{h}-\frac{h}{l}\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{9}{2}-\frac{2}{3}\right)=\frac{27}{4}-1=\frac{23}{4}\approx 5{,}75~\text{Н}.\]

Шарик отрывается там, где сила реакции жёлоба обращается в нуль. Запишите второй закон Ньютона по радиусу в этой точке и закон сохранения энергии.

\(h=\dfrac{5}{3}R\).

Пусть \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вертикалью, \(v\) — скорость в момент отрыва. Условие отрыва \(N=0\) и закон сохранения энергии: \[N=m\left(\frac{v^2}{R}-g\sin\alpha\right)=0, \qquad \frac{mv_0^2}{2}=mg\cdot 2R=mgR(1+\sin\alpha)+\frac{mv^2}{2}.\] Отсюда \(2g-3g\sin\alpha=0\) и \(\dfrac{v^2}{R}=2g-2g\sin\alpha\), так что \(\sin\alpha=\dfrac{2}{3}\). Высота \[h=R+R\sin\alpha=\frac{5}{3}R.\] Ответ: \(h=\dfrac{5}{3}R\).