зад 1 Уровень воды при нагревании льда
В цилиндрическом сосуде с площадью дна \(S = 0{,}01\) м\(^2\) в состоянии теплового равновесия находятся вода и плавающий в ней лёд массой \(m = 100\) г. Воду со льдом начинают равномерно нагревать, и спустя время \(t = 1\) с уровень воды в сосуде начинает заметно изменяться. На сколько опустится уровень воды через \(\tau = 3\) с после начала нагревания? Удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}3\cdot10^5\) Дж/кг, удельная теплота парообразования воды \(r = 2{,}3\cdot10^6\) Дж/кг, удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)К), плотность воды \(\rho = 10^3\) кг/м\(^3\). Теплообменом с окружающей средой и испарением воды до момента закипания пренебрегите. Начальная масса воды \(M = 1\) кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Плавление плавающего льда само по себе не меняет уровня воды. Подумайте, что должно произойти с водой, чтобы её уровень в сосуде начал меняться.
▶ОтветСкрыть
\(l = 43\) мм.
▶РешениеСкрыть
Уровень воды начнёт изменяться после того, как лёд расплавится и вода закипит. Если \(N\) — мощность нагревателя, то \[Nt = \lambda m + 100c(M+m), \qquad N\tau = Nt + r\rho S l;\] \[\bigl[(\lambda+100c)m+100cM\bigr](\tau-t) = r\rho S l t;\] \[(7{,}5\cdot10^5\,m+4{,}2\cdot10^5)(\tau-t) = 2{,}3\cdot10^7\,lt;\] \[(7{,}5m+4{,}2)(\tau-t) = 2{,}3\cdot10^2\,lt.\] Ответ: \(l = 43\) мм.
зад 2 Дед Мороз и гномы в Зурбагане
В городе Зурбагане все улицы расходятся лучами от центральной площади, причём угол между соседними улицами составляет \(30^\circ\), а сами улицы пронумерованы подряд буквами латинского алфавита. В новогоднюю ночь Дед Мороз должен развезти детям подарки из центра города. Чтобы успеть раздать все подарки, он разложил их по мешкам, число которых равно числу улиц, а на каждую улицу послал гнома-помощника. Двигаясь по улице А, Дед Мороз встречает первого гнома на расстоянии \(500\) м от центра и передаёт ему мешок с подарками. Гном на соседней улице В находится в этот момент на том же расстоянии (\(500\) м) от центра и, чтобы быстрее получить подарки для детей, начинает идти в центр навстречу Деду Морозу. Дед Мороз возвращается по улице А к центру города, чтобы попасть на улицу В, и, двигаясь по ней от центра, встречает второго гнома и передаёт ему мешок. Третий гном в этот момент на улице С находится от центра на том же расстоянии, что и Дед Мороз на улице В. Оба начинают одновременно двигаться к центру города. Процесс передачи остальных мешков происходит аналогично: Дед Мороз в момент передачи мешка и следующий гном находятся на одинаковых расстояниях от центра. Раздав все мешки, Дед Мороз вернулся на центральную площадь. Какой путь проделал Дед Мороз по городу, если скорость его саней в \(8\) раз больше скорости передвижения гномов по улицам?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните, какой путь проходит Дед Мороз между двумя соседними передачами мешков, и как меняется расстояние от центра, на котором происходят передачи.
▶ОтветСкрыть
\(5{,}21\) км.
зад 3 Транспортная платформа-диск
Инженеры сконструировали транспортную платформу в виде диска для перевозки грузов. Она может передвигаться как в воздухе, так и в воде. Предельно нагруженная платформа движется в воздухе в \(20\) раз быстрее, чем в воде. При этом по воздуху она может перевозить груз максимальной массой \(M = 500\) кг, а по воде — \(m = 3000\) кг. Определите массу платформы. Считайте, что её средняя плотность равна плотности воды, а плотность воздуха в \(1000\) раз меньше плотности воды. При решении полагайте, что подъёмная сила платформы прямо пропорциональна плотности окружающей среды и квадрату скорости движения. Платформа движется по воде при полном погружении, но груз не должен намокнуть!
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия платформы с грузом отдельно для воздуха и для воды, учитывая, что подъёмная сила зависит от плотности среды и квадрата скорости.
▶РешениеСкрыть
Диск в воздухе: \[(M+m_0)g = \alpha v_{\text{возд}}^2\rho_{\text{возд}}.\] Диск в воде: \[(m+m_0)g = \alpha v_{\text{вод}}^2\rho_{\text{вод}} + \rho_{\text{вод}}gV_{\text{диска}}.\] Далее: \[(m+\rho_{\text{вод}}V_{\text{диска}})g = \alpha v_{\text{вод}}^2\rho_{\text{вод}} + \rho_{\text{вод}}gV_{\text{диска}}, \qquad mg = \alpha v_{\text{вод}}^2\rho_{\text{вод}}.\] Отсюда \[\frac{M+m_0}{m} = \left(\frac{v_{\text{возд}}}{v_{\text{вод}}}\right)^2\frac{\rho_{\text{возд}}}{\rho_{\text{вод}}}, \qquad \frac{M+m_0}{m} = 10^{-3}\left(\frac{v_{\text{возд}}}{v_{\text{вод}}}\right)^2.\] Ответ: \(m_0 = 700\) кг.
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2015/16, отборочный этап, 8–9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.