зад 1 Вес тела днём и ночью
В НИУ «МЭИ» проводятся «университетские субботы» – научно-познавательные лекции и занятия со школьниками. Одна из таких встреч состоялась на кафедре физики и была посвящена законам механики. При обсуждении закона всемирного тяготения школьникам задали вопрос: «Как известно, на все тела на Земле действует сила притяжения со стороны Солнца. Днём эта сила вычитается из силы притяжения тел к Земле, а ночью складывается с ней. Означает ли это, что ночью все тела на Земле весят больше, чем днём?» Сможете ли вы повторить правильный ответ, который дали будущие студенты МЭИ?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните, как притяжение к Солнцу действует на груз и на Землю, на которой стоят весы. Что показывают весы, когда груз и весы свободно падают?
▶ОтветСкрыть
Ночью и днём все тела весят одинаково.
▶РешениеСкрыть
Сила притяжения со стороны Солнца действует не только на «взвешиваемое» тело, но и на Землю. Поэтому эта сила сообщает грузу и весам одинаковые ускорения. Следовательно, сила притяжения к Солнцу не изменяет растяжение пружины, т. е. не изменяет показания весов.
Как известно, показания весов равны нулю (сила притяжения к Земле не растягивает пружину весов), если груз вместе с весами свободно падает на Землю. Сила притяжения Солнца не растягивает пружину весов, поскольку груз и весы вместе с Землёй «свободно падают» на Солнце.
зад 2 Воздушный шар Винни Пуха
Винни Пух решил слетать к пчёлам за мёдом на воздушном шаре. Поднявшись до дупла, в котором жили «неправильные» пчелы, он привязал корзину воздушного шара к дереву и стал заполнять мёдом пустые банки. Когда он заполнил \(8\) банок и отвязал корзину от дерева, то стал опускаться на землю с постоянной скоростью. Сколько банок с мёдом Пух должен вынуть на земле, чтобы воздушный шар стал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса воздушного шара и Пуха равна массе четырёх банок с мёдом. На воздушный шар действует постоянная подъёмная сила, равная весу девяти банок с мёдом. Массой пустой банки пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равномерного движения шара вниз с восемью банками и вверх после того, как часть банок вынута. Учтите, что сила сопротивления воздуха при смене направления движения меняет направление.
▶ОтветСкрыть
\(6\) банок.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(M = 4m\) — масса шара с Пухом, \(m\) — масса банки, \(F_п = 9mg\) — подъёмная сила, \(x\) — число вынутых банок.
При равномерном движении шара вниз \[Mg + 8mg = F_{\text{сопр}} + F_п .\] При равномерном движении шара вверх \[Mg + (8-x)mg + F_{\text{сопр}} = F_п .\] Складывая эти уравнения с исключением силы сопротивления, получаем \[(16-x)mg = 2\,(F_п - Mg),\] откуда \(x = 16 - 2(9-4) = 6\).
зад 3 Мячик в речке
От пристани «Школьная» до пристани «Студенческая», расположенной ниже по течению реки, ходит речной трамвайчик. При отправлении семиклассница Таня уронила в речку мячик. Во сколько раз дольше, чем трамвайчик, будет плыть мячик от «Школьной» до «Студенческой»? (Таня знает, что если тем же маршрутом следует буксир с тяжёлой баржей, скорость которого (относительно воды) в \(n\) раз меньше скорости трамвайчика, то он затрачивает на свой путь в \(k\) раз больше времени, чем трамвайчик).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите скорость трамвайчика и буксира относительно воды через их времена пути, а скорость течения — через время дрейфа мячика. Затем приравняйте пути.
▶ОтветСкрыть
В \(k\cdot\dfrac{n-1}{n-k}\) раз дольше.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(S\) — расстояние между пристанями, \(u\) — скорость течения, \(v\) — скорость буксира относительно воды, \(t\) — время движения трамвайчика, \(x\) — во сколько раз дольше плывёт мячик. Тогда трамвайчик плывёт со скоростью \(nv+u\), буксир — со скоростью \(v+u\), мячик — со скоростью \(u\): \[\begin{cases} (nv+u)\,t = S, \\ (v+u)\,kt = S, \\ u\,xt = S . \end{cases}\] Отсюда \((nv+u)t = uxt\) и \((v+u)kt = uxt\), то есть \(nv = u(x-1)\) и \(kv = u(x-k)\). Делим одно на другое: \[\frac{n}{k} = \frac{x-1}{x-k}, \qquad x = k\cdot\frac{n-1}{n-k}.\]
зад 4 Два шарика на нити в воде
Два шарика одинаковых размеров закреплены на концах длинной, невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок. Блок неподвижно закреплён над бассейном с водой, при этом длина нити такова, что оба шарика не могут одновременно находиться в воде. Массы шариков равны \(m\) и \(2m\), при этом плотность шарика массой \(2m\) в три раза больше плотности воды. Определите отношение скорости установившегося движения системы, в случае, когда первый из шариков движется в воде, а второй в воздухе, к скорости установившегося движения в случае, когда второй шарик движется в воде, а первый в воздухе. Сила вязкого трения шарика о воду пропорциональна скорости движения шарика в воде, прочими потерями пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждого тела запишите условие равновесия сил при установившемся движении. Учтите, что вязкое трение пропорционально скорости, а на тело в воде действует сила Архимеда.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{v_1}{v_2}=5\).
▶РешениеСкрыть
Установившееся движение в вязкой жидкости является равномерным, поэтому суммы сил, действующих на каждое тело, равны нулю. Пусть \(\gamma\) — коэффициент вязкого трения, \(V\) — объём шарика, \(F_A = \rho V g\) — сила Архимеда, \(v_1\) и \(v_2\) — скорости в первом и втором случаях.
В первом случае в воде движется груз массой \(m\): сила вязкого трения \(\gamma v_1\), и \[2mg = T_1, \qquad mg + \gamma v_1 = F_A + T_1 .\] Откуда \[\gamma v_1 = F_A + mg. \qquad (1)\] Во втором случае в воде движется груз массой \(2m\): \[mg = T_2, \qquad 2mg = F_A + T_2 + \gamma v_2 .\] Откуда \[\gamma v_2 = mg - F_A. \qquad (2)\] Разделим (1) на (2): \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{mg + F_A}{mg - F_A} = \frac{3\rho Vg + 2\rho Vg}{3\rho Vg - 2\rho Vg} = 5,\] где учтено, что \(2m = 3\rho V\) (плотность шарика массой \(2m\) в три раза больше плотности воды), а числитель и знаменатель умножены на \(2\).
зад 5 Паутина паука и воображаемый паук
Исследователь-энтомолог наблюдает за пауком Caponia abyssinica, который плетёт паутину. Паук сначала натягивает в одной плоскости радиальные нити, которые расходятся из центра в разные стороны, соседние нити составляют друг с другом угол \(\alpha=30^\circ\). Затем паук закрепляет на радиальных нитях клейкую нить, которую по спирали тянет в центр паутины. Чтобы описать этот сложный процесс, энтомолог придумал следующую модель. Допустим, что паук закрепил клейкую нить на радиальной нити на каком-то расстоянии от центра паутины. Пусть на следующей радиальной нити на том же расстоянии от центра находится «воображаемый» паук. Оба паука одновременно начинают движение в центр, но скорость движения «воображаемого» паука в \(8\) раз меньше. Паук, плетущий паутину, добирается до центра и переходит на следующую радиальную нить. Клейкую нить паутины он натягивает и закрепляет там, где встречается с «воображаемым» пауком. Затем процесс с участием «воображаемого» паука повторяется много раз, причём создатель паутины последовательно обходит все нити до тех пор, пока клейкая нить не закрепится в центре. Определите путь, пройденный пауком в процессе создания паутины, если первая точка крепления клейкой нити расположена на расстоянии \(0{,}5\) м от центра.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните, за какое время воображаемый паук проходит путь до центра по одной нити, и сколько пути за это же время проходит реальный паук.
▶ОтветСкрыть
\(4\) м.
▶РешениеСкрыть
Поскольку воображаемый паук суммарно проходит только по одной нити расстояние \(0{,}5\) м, то реальный паук проходит за это же время расстояние в \(8\) раз большее, то есть \(4\) м.
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2015/16, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.