«Надежда энергетики», 2015/16, заключительный этап, 8 класс

В НИУ «МЭИ» проводятся «университетские субботы» – научно-познавательные лекции и занятия со школьниками. Одна из таких встреч состоялась на кафедре физики и была посвящена законам механики. При обсуждении закона всемирного тяготения школьникам задали вопрос: «Как известно, на все тела на Земле действует сила притяжения со стороны Солнца. Днём эта сила вычитается из силы притяжения тел к Земле, а ночью складывается с ней. Означает ли это, что ночью все тела на Земле весят больше, чем днём?» Сможете ли вы повторить правильный ответ, который дали будущие студенты МЭИ?

В деревянную доску забито 2016 гвоздей. Каждый гвоздь соединён с каждым из оставшихся 2015 гвоздей проводниками с одинаковыми сопротивлениями \(R_0\). Определите сопротивление \(R_0\), если сопротивление между любыми двумя гвоздями равно \(1\) Ом. Сопротивление гвоздей не учитывать.

▶РешениеСкрыть

Решение

Сопротивление между любыми двумя гвоздями не зависит от расположения остальных гвоздей. Если придать схеме симметричный вид (см. рис.) и подключить источник к точкам 1 и 2, то точки 3, 4, 5, … будут иметь одинаковые потенциалы. Поэтому сопротивления проводников между точками 3, 4, 5, … можно не учитывать. В результате получается параллельное соединение 2014 одинаковых ветвей, сопротивление каждой из которых равно \(2R_0\), и одного проводника с сопротивлением \(R_0\): \[\frac{1}{R_x} = \frac{1}{R_0} + \frac{2014}{2R_0} = \frac{1008}{R_0}; \qquad R_x = \frac{R_0}{1008} = 1;\quad R_0 = 1008~\text{Ом}.\]

Во время летних каникул восьмиклассники Петя и Катя пришли на речку и решили переплыть на другой берег к дереву, которое росло прямо напротив того места, где они стояли. Петя, борясь с течением, поплыл прямо на дерево, и доплыл до него за время \(t_\text{П}=50\) с. Катя же гребла перпендикулярно течению, и доплыла до противоположного берега всего за \(t_\text{К}=30\) с, но её снесло вниз по течению. Известно, что Петя и Катя плыли (относительно воды) с одной и той же скоростью. На какое расстояние от дерева снесло Катю, если ширина реки \(h=30\) м?

▶РешениеСкрыть

Решение

Пусть \(u\) — скорость течения, \(v\) — скорость плавания: \[\begin{cases} u\,t_\text{К} = S,\\ v\,t_\text{К} = h,\\ \sqrt{v^2-u^2}\cdot t_\text{П} = h. \end{cases}\] Отсюда \[\left(\frac{h}{t_\text{К}}\right)^2 - \left(\frac{S}{t_\text{К}}\right)^2 = \left(\frac{h}{t_\text{П}}\right)^2, \qquad h^2\left(\frac{1}{t_\text{К}^2} - \frac{1}{t_\text{П}^2}\right) = \frac{S^2}{t_\text{К}^2}.\] Тогда \[S = h\sqrt{1-\left(\frac{t_\text{К}}{t_\text{П}}\right)^2} = 30\sqrt{1-\frac{9}{25}} = 30\cdot\frac{4}{5} = 24~\text{м}.\]

Два шарика одинаковых размеров закреплены на концах длинной, невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок. Блок неподвижно закреплён над бассейном с водой, при этом длина нити такова, что оба шарика не могут одновременно находиться в воде. Массы шариков равны \(m\) и \(2m\), при этом плотность шарика массой \(2m\) в три раза больше плотности воды. Определите отношение скорости установившегося движения системы, в случае, когда первый из шариков движется в воде, а второй в воздухе, к скорости установившегося движения в случае, когда второй шарик движется в воде, а первый в воздухе. Сила вязкого трения шарика о воду пропорциональна скорости движения шарика в воде, прочими потерями пренебречь.

▶РешениеСкрыть

Решение

Установившееся движение в вязкой жидкости является равномерным, т.е. происходит с постоянной скоростью. На первом рисунке показана ситуация с установившимся движением, при котором в воде движется груз массой \(m\). При этом сила вязкого трения \(F_1 = \gamma V_1\), а суммы сил, действующих на каждое тело, равны нулю. Следовательно, \[2mg = T_1, \qquad mg + \gamma V_1 = F_\text{Арх} + T_1.\] Откуда \[\gamma V_1 = F_\text{Арх} + mg \quad (1)\] При установившемся движении груза \(2m\) в воде запишем \[mg = T_2, \qquad 2mg = F_\text{Арх} + T_2 + \gamma V_2.\] Откуда \[\gamma V_2 = mg - F_\text{Арх} \quad (2)\] Разделим уравнение (1) на уравнение (2): \[\frac{V_1}{V_2} = \frac{mg + F_\text{Арх}}{mg - F_\text{Арх}} = \frac{3\rho Vg + \rho 2Vg}{3\rho Vg - \rho 2Vg} = 5.\]

Исследователь-энтомолог наблюдает за пауком Caponia abyssinica, который плетет паутину. Паук сначала натягивает в одной плоскости радиальные нити, которые расходятся из центра в разные стороны, соседние нити составляют друг с другом угол \(\alpha=30^\circ\). Затем паук закрепляет на радиальных нитях клейкую нить, которую по спирали тянет в центр паутины. Чтобы описать этот сложный процесс, энтомолог придумал следующую модель. Допустим, что паук закрепил клейкую нить на радиальной нити на каком-то расстоянии от центра паутины. Пусть на следующей радиальной нити на том же расстоянии от центра находится «воображаемый» паук. Оба паука одновременно начинают движение в центр, но скорость движения «воображаемого» паука в 8 раз меньше. Паук, плетущий паутину, добирается до центра и переходит на следующую радиальную нить. Клейкую нить паутины он натягивает и закрепляет там, где встречается с «воображаемым» пауком. Затем процесс с участием «воображаемого» паука повторяется много раз, причем создатель паутины последовательно обходит все нити до тех пор, пока клейкая нить не закрепится в центре. Определите путь, пройденный пауком в процессе создания паутины, если первая точка крепления клейкой нити расположена на расстоянии \(0{,}5\) м от центра.

Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2015/16, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.