«Надежда энергетики», 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Представьте весы с грузом, которые вместе падают свободно. Что показывают весы в этом случае? Как на весы и груз действует притяжение Солнца?

Ночью и днём все тела весят одинаково.

Сила притяжения со стороны Солнца действует не только на «взвешиваемое» тело, но и на Землю. Поэтому эта сила сообщает грузу и весам одинаковые ускорения. Следовательно, сила притяжения к Солнцу не изменяет растяжение пружины, т.е. не изменяет показания весов.

Как известно, показания весов равны нулю (сила притяжения к Земле не растягивает пружину весов), если груз вместе с весами свободно падает на Землю. Сила притяжения Солнца не растягивает пружину весов, поскольку груз и весы вместе с Землей «свободно падают» на Солнце.

Скорость пловца относительно берега — сумма его скорости относительно воды и скорости течения. Запишите путь Кати поперёк реки и вниз по течению через время \(t_\text{К}\).

\(S = h\sqrt{1-\left(\dfrac{t_\text{К}}{t_\text{П}}\right)^2} = 24\) м.

Пусть \(u\) — скорость течения, \(v\) — скорость плавания: \[\begin{cases} u\,t_\text{К} = S,\\ v\,t_\text{К} = h,\\ \sqrt{v^2-u^2}\cdot t_\text{П} = h. \end{cases}\] Отсюда \[\left(\frac{h}{t_\text{К}}\right)^2 - \left(\frac{S}{t_\text{К}}\right)^2 = \left(\frac{h}{t_\text{П}}\right)^2, \qquad h^2\left(\frac{1}{t_\text{К}^2} - \frac{1}{t_\text{П}^2}\right) = \frac{S^2}{t_\text{К}^2}.\] Тогда \[S = h\sqrt{1-\left(\frac{t_\text{К}}{t_\text{П}}\right)^2} = 30\sqrt{1-\frac{9}{25}} = 30\cdot\frac{4}{5} = 24~\text{м}.\]

Запишите тепловой баланс для трёх нагревов. Все три случая связаны общим тепловым выделением топлива, поэтому удобно выразить всё через одну и ту же величину.

\(M = (2-k)\,m = 30\) г.

Обозначим \(Q = qm\) — тепло, выделившееся при сгорании топлива в первом опыте, \(a = c_\text{я}m_\text{я}\Delta t\) — тепло, идущее на нагрев яйца, \(x\) — долю тепла, идущего на воду и кастрюлю без яиц, в долях от \(Q\). Тогда тепловые балансы для трёх процессов: \[\begin{cases} (c_\text{в}m_\text{в} + c_\text{я}m_\text{я})\Delta t = qm,\\ (c_\text{в}m_\text{в} + 2c_\text{я}m_\text{я})\Delta t = kqm,\\ c_\text{в}m_\text{в}\Delta t = xqm \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} xQ + a = Q,\\ xQ + 2a = kQ. \end{cases}\] Отсюда \[\frac{a}{2a} = \frac{Q(1-x)}{Q(k-x)} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} = \frac{1-x}{k-x} \quad\Rightarrow\quad x = 2-k.\] Следовательно, \[M = xm = (2-k)\,m = \left(2-\frac{5}{4}\right)\cdot 40 = \frac{3}{4}\cdot 40 = 30~\text{г}.\]

При установившемся движении сумма сил, действующих на каждое тело, равна нулю. Запишите это для обоих случаев и сравните скорости.

\(V_1/V_2 = 5\).

Установившееся движение в вязкой жидкости является равномерным, т.е. происходит с постоянной скоростью. На первом рисунке показана ситуация с установившимся движением, при котором в воде движется груз массой \(m\). При этом сила вязкого трения \(F_1 = \gamma V_1\), а суммы сил, действующих на каждое тело, равны нулю. Следовательно, \[2mg = T_1, \qquad mg + \gamma V_1 = F_\text{Арх} + T_1.\] Откуда \[\gamma V_1 = F_\text{Арх} + mg \quad (1)\] При установившемся движении груза \(2m\) в воде запишем \[mg = T_2, \qquad 2mg = F_\text{Арх} + T_2 + \gamma V_2.\] Откуда \[\gamma V_2 = mg - F_\text{Арх} \quad (2)\] Разделим уравнение (1) на уравнение (2): \[\frac{V_1}{V_2} = \frac{mg + F_\text{Арх}}{mg - F_\text{Арх}} = \frac{3\rho Vg + \rho 2Vg}{3\rho Vg - \rho 2Vg} = 5.\]

Сначала найдите сопротивление \(R_0\) одного проводника, используя симметрию схемы, как в предыдущих задачах. Затем определите напряжение на этом проводнике.

\(Q = 40{,}32\) Дж.

Сопротивление между любыми двумя гвоздями не зависит от расположения остальных гвоздей. Если придать схеме симметричный вид (см. рис.) и подключить источник к точкам 1 и 2, то точки 3, 4, 5, … будут иметь одинаковые потенциалы. Поэтому сопротивления проводников между точками 3, 4, 5, … можно не учитывать. В результате получается параллельное соединение 2014 одинаковых ветвей, сопротивление каждой из которых равно \(2R_0\), и одного проводника с сопротивлением \(R_0\): \[\frac{1}{R_x} = \frac{1}{R_0} + \frac{2014}{2R_0} = \frac{1008}{R_0}; \qquad R_x = \frac{R_0}{1008} = 1;\quad R_0 = 1008~\text{Ом}.\] Количество теплоты, которое выделяется в цепи, будет определяться как \[Q = \frac{U^2}{R_0}\,\Delta t = \frac{20{,}16^2\cdot 100}{1008} = 40{,}32~\text{Дж}.\]