зад 1 Отражение света от металлического шара
Учащиеся Лицея №1502 при МЭИ, занимаясь во время летней практики в лаборатории кафедры физики, экспериментально изучали законы геометрической оптики. Школьники нашли в лаборатории полированный металлический шар и фонарь, создающий параллельный однородный пучок света диаметром, равным диаметру шара. Направив световой пучок строго горизонтально слева направо, лицеисты подвесили шар на нити так, что его центр оказался на оси пучка. В каком направлении шар отразил больше света: влево или вправо? Обоснуйте свой ответ необходимыми построениями и расчётами.
▶ПодсказкаСкрыть
Лучи отражаются от шара по закону отражения, и перпендикуляр в точке падения — радиус шара. Найдите радиус светового пучка, лучи которого отражаются влево, и сравните площади сечений пучка для двух направлений.
▶ОтветСкрыть
Шар отражает свет исходного пучка одинаково и влево, и вправо: \(S_\text{влево} = S_\text{вправо} = \dfrac{\pi R^2}{2}\).
▶РешениеСкрыть
Лучи света отражаются от поверхности шара по закону отражения, причём в роли перпендикуляра, восстановленного в точке падения луча на шар, выступает радиус шара, проведённый в точку падения. С помощью рисунка легко определить радиус \(r\) светового пучка, все лучи которого будут отражаться влево: \(r = R\cos 45^\circ = R/\sqrt{2}\). Все лучи исходного пучка, расстояние до которых от его оси больше, чем \(r\), будут отражаться от шара вправо. Чтобы сравнить яркость света, отражённого влево и вправо, необходимо сравнить площади сечений исходного пучка, все лучи в пределах которых отражаются влево и вправо: \[S_\text{влево} = \pi r^2 = \dfrac{\pi}{2}R^2; \qquad S_\text{вправо} = \pi\left(R^2 - r^2\right) = \pi\left(R^2 - \dfrac{R^2}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}R^2.\] Это означает, что шар отражает свет исходного пучка одинаково и влево, и вправо.
зад 2 Импульс автомобиля на горизонтальном участке
Автомобиль массой \(m\) едет по горизонтальной дороге, затем дорога идёт в гору, потом — на спуск, и снова становится горизонтальной. Уклон дороги один и тот же как для подъёма, так и для спуска. На каждом участке движения скорость автомобиля постоянна, причём на подъёме она равна \(v_2\), а на спуске — \(v_3\). Сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна квадрату его скорости. Определите импульс автомобиля на горизонтальном участке, если мощность двигателя все время остаётся неизменной.
▶ПодсказкаСкрыть
На каждом участке сила тяги уравновешивает сопротивление и, на подъёме или спуске, составляющую силы тяжести. Запишите мощность двигателя для трёх участков и исключите неизвестный коэффициент сопротивления.
▶ОтветСкрыть
\(p_1 = m\,v_1 = m\sqrt[3]{\dfrac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}\).
▶РешениеСкрыть
На всех участках дороги автомобиль движется равномерно и прямолинейно, т.е.: \[F_{\text{тяги}1} = f_\text{сопр} = k v_1^2 \quad\text{на горизонтальном участке},\] \[F_{\text{тяги}2} = k v_2^2 + mg\sin\alpha \quad\text{на подъёме}, \qquad F_{\text{тяги}3} = k v_3^2 - mg\sin\alpha \quad\text{на спуске}.\] Для мощности двигателя \(P\): \[\begin{cases} P = k v_1^3, \\ P = k v_2^3 + mg\sin\alpha\,v_2, \\ P = k v_3^3 - mg\sin\alpha\,v_3. \end{cases}\] Решая систему уравнений, получим: \[k v_1^3\left(\dfrac{1}{v_2} + \dfrac{1}{v_3}\right) = k\left(v_2^2 + v_3^2\right),\] откуда \[v_1 = \sqrt[3]{\dfrac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}, \qquad p_1 = m\,v_1 = m\sqrt[3]{\dfrac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}.\]
зад 3 Четыре муравья
По горизонтальному столу ползут четыре муравья. В некоторый момент времени скорость 1-го муравья относительно 2-го направлена на северо-восток, скорость 2-го относительно 3-го — на юго-восток, а скорость 3-го относительно 4-го — на восток. Модули всех названных относительных скоростей одинаковы и равны \(v = 1\) см/с. Чему равна и куда направлена скорость 1-го муравья (относительно стола), если скорость 4-го муравья (относительно стола) равна 1 см/с и направлена на запад?
▶ПодсказкаСкрыть
Сумма относительных скоростей по замкнутой цепочке муравьёв равна нулю. Замкните векторный многоугольник из скоростей 12, 23, 34 и 41 и найдите скорость 41.
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = 0{,}5\) см/с, на восток.
▶РешениеСкрыть
Поскольку \(\vec v_{12} + \vec v_{23} + \vec v_{34} + \vec v_{41} = 0\), то:
Из рисунка понятно, что \(v_{41} = (1 + 1\cdot\cos 60^\circ)\,v\).
Из закона сложения скоростей следует, что \(\vec v_1 = \vec v_4 - \vec v_{41}\). Тогда \(v_1 = (1 + 1\cdot\cos 60^\circ) - 1 = 0{,}5\) см/с, на восток.
зад 4 Квадратная пластина из медного листа
Квадратная пластина из тонкого медного листа разрезана на четыре одинаковых квадрата. Если в точке пересечения разрезов все малые квадраты соединить каплей припоя, то сопротивление между точками \(A\) и \(B\) будет равно \(R_1\) (рис. 1). Если эти же малые квадраты соединить четырьмя каплями, помещёнными в точках пересечения разрезов со сторонами исходного квадрата (рис. 2), то сопротивление между точками \(A\) и \(B\) будет равно \(R_2\). Полученную фигуру дополнительно разрезают по главным диагоналям, а затем скрепляют ещё четырьмя каплями припоя в точках пересечения разрезов с границей исходного квадрата (рис. 3). Определите в этом случае сопротивление между точками \(A\) и \(B\). Разрезы полностью изолируют части пластины друг от друга, а сопротивление припоя пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждой из трёх схем сначала найдите эквивалентные сопротивления сегментов пластины, затем составьте систему для сопротивления одного малого квадрата и треугольников.
▶ОтветСкрыть
\(R_3 = 2R_2 - 0{,}5R_1\).
▶РешениеСкрыть
Поскольку все разрезы изолированные, то для первой схемы останется:
Для эквивалентной схемы, считая сопротивление квадрата равным \(R\), получим: \(R_1 = 2R\).
Для третьей схемы получим, обозначив сопротивление треугольников как \(r\):
Для второй схемы, учитывая введённые обозначения, получим:
\[R_2 = \dfrac{2r + R}{2}.\] Решая систему, получим: \(R = R_1/2\), \(r = R_2 + 0{,}25R_1\), и \[R_3 = 2R_2 + 0{,}5R_1.\] Ответ: \(R_3 = 2R_2 - 0{,}5R_1\).
зад 5 Тепловой насос
Группа инженеров-энергетиков из Лаборатории энергосберегающих технологий разрабатывает устройство для обогрева жилого помещения в зимнее время. Устройство представляет собой «тепловой двигатель с обратным циклом»: на графике в \((p\text{-}V)\) координатах процесс изображается против часовой стрелки, теплота забирается с холодной улицы и отдаётся комнате, а работа над газом совершается при помощи электродвигателя (подобные устройства называют тепловыми насосами). Тестовые эксперименты проводятся при температуре на улице \(t^- = -14\) °С. Для поддержания в комнате комфортной температуры \(t^+ = 23\) °С требуется некоторое количество тепла \(P^+\) в единицу времени. Определите отношение \(P^+\) к мощности, потребляемой обогревательным устройством. Считать, что используемый цикл близок к обратному циклу Карно; потерями в электродвигателе пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Для обратного цикла Карно отношение теплоты, отданной нагревателю, к работе равно \(T^+/(T^+ - T^-)\) (температуры в кельвинах), а мощность двигателя пропорциональна работе за цикл.
▶ОтветСкрыть
\(P^+ / P_\text{потр} = 8\).
▶РешениеСкрыть
Соотношения между модулями теплоты нагревателя \(Q^+\), холодильника \(Q^-\) и работы за цикл \(A\) в обратном цикле Карно те же, что и в прямом. Тогда: \[Q^+ = A + Q^-, \qquad \dfrac{Q^+}{Q^-} = \dfrac{T^+}{T^-}, \qquad A = Q^+ - Q^- = \dfrac{T^+ - T^-}{T^+}\,Q^+.\] Для отношения мощностей получаем: \[\dfrac{P^+}{P_\text{потр}} = \dfrac{T^+}{T^+ - T^-} = \dfrac{296}{23 + 14} = \dfrac{37\cdot 8}{37} = 8.\]
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2016/17, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.