зад 1 Металлический шар и пучок света
Учащиеся Лицея №1502 при МЭИ, занимаясь во время летней практики в лаборатории кафедры физики, экспериментально изучали законы геометрической оптики. Школьники нашли в лаборатории полированный металлический шар и фонарь, создающий параллельный однородный пучок света диаметром, равным диаметру шара. Направив световой пучок строго горизонтально слева направо, лицеисты подвесили шар на нити так, что его центр оказался на оси пучка. В каком направлении шар отразил больше света: влево или вправо? Обоснуйте свой ответ необходимыми построениями и расчётами.
▶ПодсказкаСкрыть
Какой радиус светового пучка отражается влево? Сравните площади сечений пучка, лучи которых уходят влево и вправо, а не расстояния от оси.
▶РешениеСкрыть
Лучи света отражаются от поверхности шара по закону отражения, причём в роли перпендикуляра, восстановленного в точке падения луча на шар, выступает радиус шара, проведённый в точку падения. С помощью рисунка легко определить радиус \(r\) светового пучка, все лучи которого будут отражаться влево: \(r = R\cos 45^\circ = \dfrac{R}{\sqrt{2}}\). Все лучи исходного пучка, расстояние до которых от его оси больше, чем \(r\), будут отражаться от шара вправо.
Чтобы сравнить яркость света, отражённого влево и вправо, необходимо сравнить площади сечений исходного пучка, все лучи в пределах которых отражаются влево и вправо: \[S_{\text{влево}} = \pi r^2 = \frac{\pi}{2}R^2; \qquad S_{\text{вправо}} = \pi\left(R^2 - r^2\right) = \pi\left(R^2 - \frac{R^2}{2}\right) = \frac{\pi}{2}R^2.\] Это означает, что шар отражает свет исходного пучка одинаково и влево, и вправо.
зад 2 Автомобиль на подъёме и спуске
Автомобиль массой \(m\) едет по горизонтальной дороге, затем дорога идёт в гору, потом — на спуск, и снова становится горизонтальной. Уклон дороги один и тот же как для подъёма, так и для спуска. На каждом участке движения скорость автомобиля постоянна, причём на подъёме она равна \(v_2\), а на спуске — \(v_3\). Сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна квадрату его скорости. Определите импульс автомобиля на горизонтальном участке, если мощность двигателя всё время остаётся неизменной.
▶ПодсказкаСкрыть
На каждом участке сила тяги уравновешивает сопротивление с учётом составляющей силы тяжести. Запишите мощность двигателя на трёх участках и исключите из них силу тяжести.
▶РешениеСкрыть
На всех участках дороги автомобиль движется равномерно и прямолинейно, т. е.: \[F_{тяги1} = f_{сопр} = kv_1^2 \quad\text{на горизонтальном участке},\] \[F_{тяги2} = kv_2^2 + mg\sin\alpha \quad\text{на подъёме},\qquad F_{тяги3} = kv_3^2 - mg\sin\alpha \quad\text{на спуске},\] где \(\alpha\) — угол наклона дороги. Для мощности \(P\) двигателя: \[\begin{cases} P = kv_1^3, \\ P = kv_2^3 + mg\sin\alpha\, v_2, \\ P = kv_3^3 - mg\sin\alpha\, v_3. \end{cases}\] Решая систему уравнений, получим \[kv_1^3\left(\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}\right) = k\left(v_2^2 + v_3^2\right),\] \[v_1 = \sqrt[3]{\frac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}, \qquad p_1 = m\sqrt[3]{\frac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}.\]
зад 3 Заряженные шарики на нити
Два одинаковых шарика, масса каждого из которых равна \(m\), заряжены одинаковыми зарядами \(q\) и соединены идеальной непроводящей нитью длиной \(l\). В некоторый момент времени точку, расположенную посередине нити, начинают перемещать равномерно со скоростью \(v_0\) в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей шарики. До какого минимального расстояния сблизятся шарики во время последующего движения? Действием силы тяжести пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта, связанную с центром нити. Какая кинетическая энергия шариков в начале движения и когда их скорость обращается в нуль?
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{l}{\dfrac{mv_0^2}{kq^2} + 1}\).
▶РешениеСкрыть
Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром нити. В начальный момент времени система двух шариков обладает кинетической энергией \[W_{кин1} = 2\cdot\frac{mv_0^2}{2}.\] Шарики сближаются до тех пор, пока их скорость не станет равна нулю. По теореме об изменении кинетической энергии \[W_{кин2} - W_{кин1} = A_{поля}, \qquad -2\cdot\frac{mv_0^2}{2} = q\left(\frac{kq}{l} - \frac{kq}{x}\right),\] где \(x\) — минимальное расстояние между шариками. Решая систему, получаем \[x = \frac{kq^2 l}{kq^2 + mv_0^2 l}.\]
зад 4 Пластина с разрезами и припоем
Квадратная пластина из тонкого медного листа разрезана на четыре одинаковых квадрата. Если в точке пересечения разрезов все малые квадраты соединить каплей припоя, то сопротивление между точками \(A\) и \(B\) будет равно \(R_1\) (рис. 1). Если эти же малые квадраты соединить четырьмя каплями, помещёнными в точках пересечения разрезов со сторонами исходного квадрата (рис. 2), то сопротивление между точками \(A\) и \(B\) будет равно \(R_2\). Полученную фигуру дополнительно разрезают по главным диагоналям, а затем скрепляют ещё четырьмя каплями припоя в точках пересечения разрезов с границей исходного квадрата (рис. 3). Определите в этом случае сопротивление между точками \(A\) и \(B\). Разрезы полностью изолируют части пластины друг от друга, а сопротивление припоя пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть
Постройте эквивалентные схемы: каждый разрез изолирует части пластины, и сопротивление треугольника из диагонали можно выразить через \(r\) и \(R\).
▶ОтветСкрыть
\(R_3 = 2R_2 - 0{,}5\,R_1\).
▶РешениеСкрыть
Поскольку все разрезы изолированные, то для первой схемы остаётся последовательное соединение двух квадратов:
Для эквивалентной схемы, считая сопротивление квадрата равным \(R\), получим \(R_1 = 2R\).
Для третьей схемы, обозначив сопротивление треугольников как \(r\), получим:
\(R_3 = 2r\).
Для второй схемы, учитывая введённые обозначения, получим:
\(R_2 = \dfrac{2r + R}{2}\).
Решая систему, получим \(R = \dfrac{R_1}{2}\), \(r = R_2 + 0{,}25\,R_1\) и \[R_3 = 2R_2 + 0{,}5\,R_1.\]
зад 5 Тепловой насос для обогрева
Группа инженеров-энергетиков из Лаборатории энергосберегающих технологий разрабатывает устройство для обогрева жилого помещения в зимнее время. Устройство представляет собой «тепловой двигатель с обратным циклом»: на графике в \((p\text{-}V)\) координатах процесс изображается против часовой стрелки, теплота забирается с холодной улицы и отдаётся комнате, а работа над газом совершается при помощи электродвигателя (подобные устройства называют тепловыми насосами). Тестовые эксперименты проводятся при температуре на улице \(t_{-} = -14\,^{\circ}\)C. Для поддержания в комнате комфортной температуры \(t_{+} = 23\,^{\circ}\)C требуется некоторое количество тепла \(P_{+}\) в единицу времени. Определите отношение \(P_{+}\) к мощности, потребляемой обогревательным устройством. Считать, что используемый цикл близок к обратному циклу Карно; потерями в электродвигателе пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Для обратного цикла Карно отношение теплоты, отданной нагревателю, к работе равно отношению температур нагревателя и разности температур (в кельвинах).
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{P_{+}}{P_{\text{потр}}} = \dfrac{T_{+}}{T_{+} - T_{-}} = \dfrac{296}{23 + 14} = \dfrac{37\cdot 8}{37} = 8\).
▶РешениеСкрыть
Соотношения между модулями теплоты нагревателя \(Q^{+}\), холодильника \(Q^{-}\) и работы за цикл \(A\) в обратном цикле Карно те же, что и в прямом. Тогда: \[Q^{+} = A + Q^{-}; \qquad \frac{Q^{+}}{Q^{-}} = \frac{T^{+}}{T^{-}},\] \[A = Q^{+} - Q^{-} = \frac{T^{+} - T^{-}}{T^{+}}\,Q^{+}.\] Для отношения мощностей получаем: \[\frac{P^{+}}{P_{\text{потр}}} = \frac{T^{+}}{T^{+} - T^{-}} = \frac{296}{23 + 14} = \frac{37\cdot 8}{37} = 8.\]
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2016/17, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.