зад 1 Крепление для картины
К приходу гостей Карабас-Барабас решил повесить на стенку портрет своего дедушки в тяжёлой бронзовой раме. Он забил в стену специальное крепление, в инструкции к которому было написано: «…рассчитано на груз не более 5 кг». Карабасу кажется, что масса картины больше. Как ему заранее узнать, выдержит ли крепление, если у него есть верёвка и динамометр с пределом измерения 30 Н?
▶ПодсказкаСкрыть
Подумайте, какую силу натяжения покажет динамометр, если картину удерживать верёвкой, перекинутой через блок. Какой вес картины соответствует пределу 5 кг?
▶РешениеСкрыть
Сначала необходимо отрезать небольшой кусок верёвки, потом следует привязать оставшуюся большую верёвку одним концом к картине, а другим — к динамометру. Отрезанный небольшой кусок привязываем к другому концу динамометра и к картине. Если теперь длинную верёвку перебросить через неподвижный блок (его роль может выполнить вытянутая рука) и удержать картину в неподвижном положении, то получается такая расстановка сил: динамометр показывает силу натяжения верёвки, которая в два раза меньше силы тяжести картины. Если динамометр покажет силу, меньшую, чем 25 Н, то крепление выдержит картину.
зад 2 Полый шар в воде
Полый шар плавает в воде, полностью погрузившись в неё. Шар медленно погружают ещё глубже и отпускают. Объясните дальнейшее поведение шара.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните условие плавания шара на любой глубине с тем, меняется ли объём шара при возрастании давления воды.
▶РешениеСкрыть
Если шар плавает, то выполняется условие \(mg = F_A = \rho_в V_ш g\), где \(m = \rho_ш (V_ш - V_{пол})\).
Можно рассмотреть два случая.
1. Объём шара не меняется («жёсткий» шар). Тогда условие плавания шара продолжает выполняться и на большей глубине, т. е. шар продолжает плавать в состоянии безразличного равновесия.
2. Объём шара меняется («мягкий» шар), причём под действием возрастающих сил давления воды объём шара уменьшается. Поскольку масса шара не меняется, а выталкивающая сила уменьшается, то шар перестанет плавать неподвижно и начнёт тонуть.
зад 3 Автобус и школьники
Одноклассники Петя и Катя обычно ездят в школу на автобусе вместе. Однажды, не дождавшись автобуса на своей остановке, они пошли пешком на следующую, чтобы подождать автобуса там. Когда они прошли всего четверть пути, Катя обернулась и увидела автобус, приближающийся к покинутой ими остановке. Школьники одновременно побежали: Катя — назад, а Петя — вперёд, причём оба прибежали на остановки одновременно с приходом к ним автобуса. Петя бежал в полтора раза быстрее Кати. Во сколько раз скорость автобуса больше скорости бега Кати? Скорость автобуса между остановками считайте постоянной, временем разгона и торможения автобуса, а также временем стоянки автобуса на остановке можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите время бега Кати назад и время бега Пети вперёд, а также время движения автобуса до каждой из остановок, приравняв их.
▶ОтветСкрыть
В \(4\) раза.
▶РешениеСкрыть
Введём обозначения: \(v\) — скорость Кати, \(\dfrac{3v}{2}\) — скорость Пети, \(xv\) — скорость автобуса, \(l\) — расстояние от автобуса до первой остановки в тот момент, когда его увидела Катя, \(4S\) — расстояние между остановками.
Тогда \[\frac{S}{v} = \frac{l}{xv} \quad\Rightarrow\quad l = xS,\] \[\frac{3S}{\frac{3}{2}v} = \frac{l + 4S}{xv} \quad\Rightarrow\quad 2S = \frac{l + 4S}{x}.\] Отсюда \(2xS = xS + 4S\), и \(x = 4\).
зад 4 Пластина с отверстиями
Объём плоской металлической пластины постоянной толщины равен \(V\). Если в пластине просверлить некоторое количество отверстий, то масса пластины будет равна \(M_1\). Если в пластине дополнительно просверлить ещё некоторое количество отверстий так, что их общее количество увеличится в \(k\) раз, то масса пластины станет равна \(M_2\). Все отверстия сквозные, одинакового диаметра и сверлятся перпендикулярно плоскости пластины; \(k>1\). Определите плотность материала пластины.
▶ПодсказкаСкрыть
Обозначьте массу пластины без отверстий и массу материала одного отверстия, а затем запишите массы \(M_1\) и \(M_2\) через число отверстий.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \dfrac{kM_1 - M_2}{V(k-1)}\).
▶РешениеСкрыть
Введём обозначения: \(m\) — масса материала, «высверливаемого» для одного отверстия, \(N\) — первоначальное количество отверстий, \(M\) — масса пластины без отверстий. Тогда \[\begin{cases} M - M_1 = Nm, \\ M - M_2 = kNm, \end{cases} \qquad \frac{M - M_1}{M - M_2} = \frac{1}{k},\] откуда \(kM - kM_1 = M - M_2\), и \[M = \frac{kM_1 - M_2}{k - 1} \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{kM_1 - M_2}{V(k-1)}.\]
зад 5 Два сосуда и кубик
На горизонтальном столе стоят два цилиндрических сосуда, радиусы которых отличаются в 2 раза, соединённые горизонтальной трубкой вблизи дна. В сосуды наливают воду и в один из них кладут металлический кубик объёмом \(V = 1\) см\(^3\) и массой \(m = 10\) г, после чего силы давления сосудов на стол становятся одинаковыми. Найдите объём воды в сосудах, если плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\). Массой соединительной трубки и объёмом воды в ней можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Уровень воды в сообщающихся сосудах одинаков. Приравняйте силы давления на дно больших и малых сосудов, учитывая, что кубик опирается на дно малого сосуда.
▶ОтветСкрыть
\(16{,}4\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Так как сосуды сообщающиеся, то уровень воды в них одинаков (обозначим его \(h\)). Площадь дна малого сосуда равна \(S\), большого — \(4S\). Поскольку силы давления на дно сосудов после погружения тела становятся равными, то \[\rho g h \cdot 4S = \rho g h S + (mg - \rho g V_m),\] \[\rho g h \cdot 3S = mg - \rho g V_m,\] \[hS = \frac{m/\rho - V_m}{3}.\] Объём воды в сосудах \[V = 5hS - V_m = \frac{5m}{3\rho} - \frac{8}{3}V_m = 16{,}4~\text{см}^3.\]
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2016/17, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.