зад 1 Ледоход и вращение льдин
Совсем скоро наступит весна, и замёрзшие зимой реки начнут освобождаться от льда — на реках наступит ледоход. Если с берега вы будете наблюдать ледоход на прямом участке достаточно широкой реки, то обнаружите удивительное явление: отколовшиеся друг от друга большие льдины плывут по течению и медленно вращаются на поверхности воды, хотя не сталкиваются друг с другом. Как вы объясните этот эффект?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните скорость течения у берега и на середине реки. Какие силы действуют на разные части льдины, находящиеся в слоях воды с разными скоростями?
▶РешениеСкрыть
Известно, что скорость течения реки по её ширине неодинакова: у берега вода практически неподвижна, а на середине реки течение самое быстрое. Большая льдина располагается на поверхности воды так, что разные части льдины погружены в слои воды, обладающие разными скоростями. Действие сил трения воды о льдину будет приводить к закручиванию льдины. При этом наблюдается любопытный эффект: льдины, расположенные по разные стороны от середины реки, закручиваются в разных направлениях.
зад 2 Кристаллическая решётка железа
При относительно невысоких температурах кристаллическая решётка железа имеет вид объёмно-центрированного куба, то есть ионы железа находятся в вершинах куба и в его центре. При повышении температуры железо изменяет кристаллическую решётку, которая становится гранецентрированным кубом, т. е. ионы железа располагаются в вершинах куба и в центре каждой из его граней. В процессе изменения кристаллической решётки плотность железа уменьшается на \(2\,\%\). Найдите, во сколько раз изменяется объём элементарной ячейки кристаллической решётки (объём куба).
▶ПодсказкаСкрыть
Посчитайте, сколько ионов приходится на одну элементарную ячейку каждого типа, учитывая, что ион в вершине общий для восьми ячеек, а ион на грани — для двух.
▶РешениеСкрыть
Поскольку узловой ион принадлежит 8 ячейкам, тот, что в центре куба, — 1 ячейке, а те, которые в центрах граней, — 2 ячейкам. Таким образом, на ОЦК-ячейку приходится масса 2 ионов, а на ГЦК — четырёх, тогда \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{V_2}{2V_1}, \qquad \frac{V_2}{V_1} = \frac{2}{0{,}98} \approx 2{,}04.\]
зад 3 Кубик в двух жидкостях
Имеются две химически невзаимодействующие жидкости. Кубик, выполненный из некоторого материала, плавает в первой жидкости, погрузившись на треть своего объёма. Во второй жидкости он плавает, погрузившись на две трети объёма. Жидкости однородно смешивают друг с другом в объёмном отношении \(\dfrac{V_1}{V_2} = n\). Какая часть кубика будет находиться над поверхностью смеси жидкостей, когда он будет плавать в ней?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие плавания кубика в каждой из трёх жидкостей. Плотность смеси найдите как отношение общей массы к общему объёму.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{4n+1}{6n+3}\).
▶РешениеСкрыть
Запишем условие плавания кубика в трёх случаях: \[mg = \frac{\rho_1 g V_k}{3}, \qquad mg = \frac{2\rho_2 g V_k}{3}, \qquad mg = \rho_3 g\, k V_k,\] где \(k\) — погружённая в смесь часть объёма кубика, а плотность смеси \[\rho_3 = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2} = \frac{\rho_1 n V_2 + \rho_2 V_2}{nV_2 + V_2} = \rho_2\,\frac{2n + 1}{n + 1}.\] Найдём \(k\): \[\frac{2\rho_2 g V_k}{3} = k\rho_2\frac{2n+1}{n+1}\, g V_k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2}{3}\cdot\frac{n+1}{2n+1}.\] Над поверхностью смеси останется часть \(1 - k\), т. е. \[1 - k = \frac{4n+1}{6n+3}.\]
зад 4 Автобус и школьники
Одноклассники Петя и Катя обычно ездят в школу на автобусе вместе. Однажды, не дождавшись автобуса на своей остановке, они пошли пешком на следующую, чтобы подождать автобуса там. Когда они прошли всего четверть пути, Катя обернулась и увидела автобус, приближающийся к покинутой ими остановке. Школьники одновременно побежали: Катя — назад, а Петя — вперёд, причём оба прибежали на остановки одновременно с приходом к ним автобуса. Петя бежал в полтора раза быстрее Кати. Во сколько раз скорость автобуса больше скорости бега Кати? Скорость автобуса между остановками считайте постоянной, временем разгона и торможения автобуса, а также временем стоянки автобуса на остановке можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите время бега Кати назад и время бега Пети вперёд, а также время движения автобуса до каждой из остановок, приравняв их.
▶ОтветСкрыть
В \(4\) раза.
▶РешениеСкрыть
Введём обозначения: \(v\) — скорость Кати, \(\dfrac{3v}{2}\) — скорость Пети, \(xv\) — скорость автобуса, \(l\) — расстояние от автобуса до первой остановки в тот момент, когда его увидела Катя, \(4S\) — расстояние между остановками.
Тогда \[\frac{S}{v} = \frac{l}{xv} \quad\Rightarrow\quad l = xS,\] \[\frac{3S}{\frac{3}{2}v} = \frac{l + 4S}{xv} \quad\Rightarrow\quad 2S = \frac{l + 4S}{x}.\] Отсюда \(2xS = xS + 4S\), и \(x = 4\).
зад 5 Два сосуда и грузик
На горизонтальном столе стоят два цилиндрических сосуда, радиусы которых отличаются в 2 раза, соединённые горизонтальной трубкой вблизи дна. В сосуды наливают воду и в один из них кладут маленький грузик объёмом \(V = 1\) см\(^3\) и массой \(m = 10\) г, после чего силы давления сосудов на стол становятся одинаковыми. Найдите объём воды в сосудах, если плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\). Массой соединительной трубки и объёмом воды в ней можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Уровень воды в сообщающихся сосудах одинаков. Приравняйте силы давления на дно больших и малых сосудов, учитывая, что грузик опирается на дно малого сосуда.
▶ОтветСкрыть
\(16{,}4\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Так как сосуды сообщающиеся, то уровень воды в них одинаков (обозначим его \(h\)). Площадь дна малого сосуда равна \(S\), большого — \(4S\). Поскольку сила давления на дно сосудов после погружения тела становится также равной, то \[\rho g h \cdot 4S = \rho g h S + (mg - \rho g V_m),\] \[\rho g h \cdot 3S = mg - \rho g V_m,\] \[hS = \frac{m/\rho - V_m}{3}.\] Объём воды в сосудах \[V = 5hS - V_m = \frac{5m}{3\rho} - \frac{8}{3}V_m = 16{,}4~\text{см}^3.\]
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2016/17, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.