зад 1 Ледоход и вращение льдин
Совсем скоро наступит весна, и замёрзшие зимой реки начнут освобождаться от льда — на реках наступит ледоход. Если с берега вы будете наблюдать ледоход на прямом участке достаточно широкой реки, то обнаружите удивительное явление: отколовшиеся друг от друга большие льдины плывут по течению и медленно вращаются на поверхности воды, хотя не сталкиваются друг с другом. Как вы объясните этот эффект?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните скорость течения у берега и на середине реки. Какие силы действуют на разные части льдины, находящиеся в слоях воды с разными скоростями?
▶РешениеСкрыть
Известно, что скорость течения реки по её ширине неодинакова: у берега вода практически неподвижна, а на середине реки течение самое быстрое. Большая льдина располагается на поверхности воды так, что разные части льдины погружены в слои воды, обладающие разными скоростями. Действие сил трения воды о льдину будет приводить к закручиванию льдины. При этом наблюдается любопытный эффект: льдины, расположенные по разные стороны от середины реки, закручиваются в разных направлениях.
зад 2 Эскалаторы в метро
Однажды ранним утром друзья Петя, Катя и Вася пришли на станцию метро, имевшую три одинаковых эскалатора. Первый эскалатор работал на подъём, второй — на спуск, а третий стоял. Ребята спустились на платформу бегом, каждый по своему эскалатору: Петя — по первому, Катя — по второму, Вася — по третьему. Спускаясь, ребята считали пройденные ступеньки. Петя насчитал \(N_1 = 80\) ступенек, а Катя — \(N_2 = 48\). Сколько ступенек насчитал Вася, если скорости бега Пети и Кати (относительно их эскалаторов) относились как \(5\!:\!3\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите длину эскалатора двумя способами для Пети и Кати: через число ступенек и через время бега, учитывая скорость эскалатора и скорость бега относительно него.
▶ОтветСкрыть
\(N = 64\) ступеньки.
▶РешениеСкрыть
Обозначения: \(x\) — ширина одной ступеньки, \(k = \dfrac{5}{3}\), \(N\) — ступеньки, насчитанные Васей, \(u\) — скорость эскалатора, \(v\) — скорость бега Кати относительно эскалатора, \(kv\) — скорость бега Пети относительно эскалатора. Тогда \[\begin{cases} S = Nx = (kv - u)\,t_1 = (kv - u)\dfrac{N_1 x}{kv}, \\[2mm] S = Nx = (v + u)\,t_2 = (v + u)\dfrac{N_2 x}{v}, \end{cases}\] откуда \[\begin{cases} N_1 u = kv(N_1 - N), \\ N_2 u = v(N - N_2), \end{cases} \qquad \frac{N_1}{N_2} = k\cdot\frac{N_1 - N}{N - N_2}.\] Отсюда \(N(N_1 + kN_2) = (k+1)N_1N_2\) и \[N = \frac{(k+1)N_1N_2}{N_1 + kN_2} = \frac{8}{3}\cdot\frac{80\cdot 48}{80 + 80} = 64.\]
зад 3 Пельмени и долив воды
Петя пришёл из школы и решил приготовить себе на обед пельмени. На упаковке он прочитал, что для этого надо сначала вскипятить воду. Он налил в кастрюлю некоторое количество холодной воды при температуре \(t_0 = 20\,^{\circ}\)C, но когда она через время \(T = 12\) мин закипела, то пришла из школы его старшая сестра Лена, и сказала, что тоже хочет пельменей. Кипящей воды в кастрюле оказалось недостаточно для двух порций. Лена быстро долила в кипящую воду некоторое количество холодной воды при той же температуре \(t_0\). Через время \(\tau = 4\) мин вода в кастрюле опять закипела, и ребята приготовили себе пельмени. Определите минимальную температуру воды \(\theta\) в кастрюле после добавления холодной воды в кипяток. Скорость поступления тепла к воде в кастрюле и скорость утечки тепла из кастрюли считайте постоянными.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите тепловой баланс для нагрева первой порции воды, для нагрева второй порции до температуры \(\theta\) и для нагрева всей смеси до кипения за время \(\tau\), считая мощность постоянной.
▶РешениеСкрыть
Обозначения: \(P\) — поступающая мощность (с учётом потерь), \(C_1\), \(C_2\) — теплоёмкости 1-й и 2-й порций воды, \(t_{к} = 100\,^{\circ}\)C — температура кипения. Тогда \[\begin{cases} PT = C_1(t_{к} - t_0), \\ C_1(t_{к} - \theta) = C_2(\theta - t_0), \\ P\tau = (C_1 + C_2)(t_{к} - \theta). \end{cases}\] Из этих уравнений \[\frac{\tau}{T} = \left(1 + \frac{C_2}{C_1}\right)\frac{t_{к} - \theta}{t_{к} - t_0} = \frac{t_{к} - t_0}{\theta - t_0}\cdot\frac{t_{к} - \theta}{t_{к} - t_0} = \frac{t_{к} - \theta}{\theta - t_0},\] откуда \(\tau\theta - \tau t_0 = Tt_{к} - T\theta\), и \[\theta = \frac{Tt_{к} + \tau t_0}{T + \tau} = \frac{12\cdot 100 + 4\cdot 20}{12 + 4} = \frac{1280}{16} = 80\,^{\circ}\text{C}.\]
зад 4 Гоночный автомобиль на кольце
Гоночный автомобиль совершает заезд по кольцевой трассе по часовой стрелке (см. рис.). Автомобиль двигается с максимально возможной скоростью (на грани заноса). Пройдя последние 5 кругов за 5 мин 14 с, автомобиль пересекает линию финиша в точке Ф, выезжает на прямолинейную дорогу ФО. Гонщик сразу начинает резко тормозить (на грани проскальзывания колёс о дорогу) и останавливается в точке О. Найдите время торможения \(\tau\). Кольцевая и прямолинейная дороги лежат в горизонтальной плоскости; свойства дорожного покрытия везде одинаковы.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните ускорение торможения на прямой, которое не может превышать предельного значения трения, с центростремительным ускорением на кольце при той же предельной скорости.
▶ОтветСкрыть
\(\tau = \dfrac{t}{10\pi} = 10\) с.
▶РешениеСкрыть
Обозначим время одного оборота \(T\) (период обращения). Ускорение торможения на ФО и центростремительное ускорение \(\dfrac{2\pi v}{T}\) равны между собой. Тогда \[\frac{2\pi v}{T} = \frac{v}{\tau} \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{T}{2\pi}.\] Так как за 5 кругов прошло \(t = 5\) мин \(14\) с \(= 314\) с, то \[\tau = \frac{T}{2\pi} = \frac{t}{10\pi} = \frac{314}{31{,}4} = 10~\text{с}.\]
зад 5 Пластина с разрезами и припоем
Квадратная пластина из тонкого медного листа разрезана на четыре одинаковых квадрата. Если в точке пересечения разрезов все малые квадраты соединить каплей припоя, то сопротивление между точками \(A\) и \(B\) будет равно \(R_1\) (рис. 1). Если эти же малые квадраты соединить четырьмя каплями, помещёнными в точках пересечения разрезов со сторонами исходного квадрата (рис. 2), то сопротивление между точками \(A\) и \(B\) будет равно \(R_2\). Полученную фигуру дополнительно разрезают по главным диагоналям, а затем скрепляют ещё четырьмя каплями припоя в точках пересечения разрезов с границей исходного квадрата (рис. 3). Определите в этом случае сопротивление между точками \(A\) и \(B\). Разрезы полностью изолируют части пластины друг от друга, а сопротивление припоя пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть
Постройте эквивалентные схемы: каждый разрез изолирует части пластины, и сопротивление треугольника из диагонали можно выразить через \(r\) и \(R\).
▶ОтветСкрыть
\(R_3 = 2R_2 - 0{,}5\,R_1\).
▶РешениеСкрыть
Поскольку все разрезы изолированные, то для первой схемы остаётся последовательное соединение двух квадратов:
Для эквивалентной схемы, считая сопротивление квадрата равным \(R\), получим \(R_1 = 2R\).
Для третьей схемы, обозначив сопротивление треугольников как \(r\), получим:
\(R_3 = 2r\).
Для второй схемы, учитывая введённые обозначения, получим:
\(R_2 = \dfrac{2r + R}{2}\).
Решая систему, получим \(R = \dfrac{R_1}{2}\), \(r = R_2 + 0{,}25\,R_1\) и \[R_3 = 2R_2 + 0{,}5\,R_1.\]
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2016/17, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.