«Надежда энергетики», 2017/18, заключительный этап, 10 класс

Какую величину на графике \(v(t)\) даёт путь? Как меняется скорость частицы на участке от \(A\) к центру кольца для притягивающего и для отталкивающего случая?

Время увеличится: \(t_1 < t_2\), где \(t_1\) — время движения отрицательной частицы, \(t_2\) — время движения положительной.

Поскольку заряд кольца положительный, отрицательно заряженная частица на участке \(AO\) ускоряется, и в центре кольца её скорость становится больше начальной, а потом начинает убывать. Для положительно заряженной частицы картина обратная. Площадь под графиком \(v(t)\) равна пути, пройденному частицей, а путь \(|AB|\) одинаков в обоих случаях. Поэтому время движения первой (отрицательной) частицы меньше времени движения второй: если заряд кольца \(Q > 0\), то \(t_1 < t_2\).

Перейдите в систему отсчёта одного из мячиков: как движется второй мячик в ней? Что в этой системе означает минимальное расстояние между мячиками?

\(v_0 = \sqrt{\dfrac{S^3 g}{S^2 - 2l^2}}\).

Расстояние между мячиками не зависит от \(g\), как и при прямолинейном движении: \(\vec r_1 - \vec r_2 = (\vec r_{01} - \vec r_{02}) + (\vec v_{01} - \vec v_{02})\,t\). Дальности полёта одинаковы, поэтому углы бросания удовлетворяют \(\alpha + \beta = 90^\circ\) (навесная и настильная траектории). В системе отсчёта мячика Кати траектория мячика Пети относительно неё — прямая, а минимальное расстояние \(l\) — перпендикуляр из точки броска Кати на эту прямую. Заметим, что \(l\) не равно разности максимальных высот мячиков.

Из рисунка \(\alpha = 45^\circ + \gamma\), \(l = S\sin\gamma\). Тогда \[S = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha = \frac{v_0^2}{g}\cos 2\gamma, \qquad \cos 2\gamma = 1 - \frac{2l^2}{S^2},\] откуда \(v_0 = \sqrt{\dfrac{Sg}{\cos 2\gamma}} = \sqrt{\dfrac{S^3 g}{S^2 - 2l^2}}\).

Какая составляющая импульса меняется под действием поля, а какая нет? Для второй частицы используйте теорему Пифагора.

\(\dfrac{p_2}{p_1} = 3\).

Первая частица движется вдоль силовых линий, вторая — перпендикулярно им. По закону изменения импульса \(\Delta\vec p_i = q_i\vec E\,\Delta t\). Так как заряд второй частицы вдвое больше, \(|\Delta p_2| = 2|\Delta p_1| = 4p_1\). Этот прирост импульса направлен вдоль поля, перпендикулярная полю составляющая импульса второй частицы не меняется. Поэтому \(p_2' = \sqrt{p_2^2 + (4p_1)^2} = 5p_1\), откуда \(p_2 = 3p_1\).

Запишите давление газа через столб ртути и уравнение состояния через смещение \(x\) столбика. Какой температуре соответствует максимум полученной зависимости \(T(x)\)?

\(T_{\min} = \dfrac{9}{8}\,T_0\).

\(P_1 = 2p_0 = 2l\) — начальное давление воздуха. Пусть \(x\) — смещение вверх столбика ртути при температуре \(T\). Тогда \[\frac{2l\cdot Sl}{T_0} = \frac{(2l - x)\,S\,(l + x)}{T}, \qquad T = T_0\,\frac{(2l - x)(l + x)}{2l^2}.\] Это парабола ветвями вниз с корнями \(x = -l\) и \(x = 2l\) и максимумом при \(x = l/2\). Чтобы вытолкнуть всю ртуть, нужно пройти через максимум температуры: \[T = T_0\,\frac{\left(2l - \frac{l}{2}\right)\left(l + \frac{l}{2}\right)}{2l^2} = \frac{9}{8}\,T_0.\]

Сравните моменты сил натяжения шнурка относительно центра картины при её небольшом повороте. Рассмотрите симметричное положение, при котором картина висит ровно.

Равновесие устойчиво при \(l \ge \dfrac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2} \approx 5{,}4\) фута.

Если картина висит ровно, натяжения шнурка по обе стороны равны: \(T_1 = T_2\), и плечи \(d_1 = d_2\), так что моменты сил уравновешены. При повороте картины вправо (рис. 2, 3) равновесие устойчиво, если момент силы \(T_2\) больше момента силы \(T_1\), то есть \(d_2 > d_1\). Это выполняется при угле \(\alpha > 90^\circ\) между шнурком и горизонталью; при \(\alpha < 90^\circ\) равновесие неустойчиво.

Рассмотрим крайний случай \(\alpha = 90^\circ\) (рис. 1). Из подобия треугольников \[\frac{b}{2p} = \frac{a/2}{l/2}, \qquad l_{\text{кр}} = \frac{2ap}{b} = \frac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2}.\] Устойчивое равновесие — при \(l \ge \dfrac{a}{b}\sqrt{a^2+b^2}\), для \(a = 3\) фута и \(b = 2\) фута это \(\approx 5{,}4\) фута.