«Надежда энергетики», 2017/18, заключительный этап, 11 класс

Где напряжённость поля у заряженного стержня больше — вблизи закруглённого конца или вдали от него? Хватает ли электрону энергии на длине свободного пробега, чтобы возбудить атом гелия?

Свечение вызвано возбуждением атомов гелия электронами, ускоренными полем: разновидность коронного разряда. Светится область у электрода, где напряжённость поля наибольшая; вдали от стержня электроны не успевают набрать энергию, достаточную для возбуждения.

В данном случае имеет место разновидность коронного разряда. Внутри камеры присутствует некоторое количество свободных электронов. Под действием электрического поля стержня электроны разгоняются до кинетической энергии, достаточной для возбуждения атомов гелия при столкновении с ними. Атомы гелия, возвращаясь в исходное состояние, испускают свет. Вдали от стержня напряжённость электрического поля меньше, поэтому на длине свободного пробега большинство электронов не успевают набрать энергию, достаточную для возбуждения гелия. Поэтому вдали от стержня свечения почти нет.

Перейдите в систему отсчёта одного из мячиков: как движется второй мячик в ней? Что в этой системе означает минимальное расстояние между мячиками?

\(v_0 = \sqrt{\dfrac{S^3 g}{S^2 - 2l^2}}\).

Расстояние между мячиками не зависит от \(g\), как и при прямолинейном движении: \(\vec r_1 - \vec r_2 = (\vec r_{01} - \vec r_{02}) + (\vec v_{01} - \vec v_{02})\,t\). Дальности полёта одинаковы, поэтому \(\alpha + \beta = 90^\circ\) (навесная и настильная траектории). В системе отсчёта мячика Кати траектория мячика Пети относительно неё — прямая, а минимальное расстояние \(l\) — перпендикуляр из точки броска Кати на эту прямую. Заметим, что \(l\) не равно разности максимальных высот мячиков.

Из рисунка \(\alpha = 45^\circ + \gamma\), \(l = S\sin\gamma\). Тогда \[S = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha = \frac{v_0^2}{g}\cos 2\gamma, \qquad \cos 2\gamma = 1 - \frac{2l^2}{S^2},\] откуда \(v_0 = \sqrt{\dfrac{Sg}{\cos 2\gamma}} = \sqrt{\dfrac{S^3 g}{S^2 - 2l^2}}\).

Запишите давление газа через столб ртути и уравнение состояния через смещение \(x\) столбика. Какой температуре соответствует максимум полученной зависимости \(T(x)\)?

\(T_{\min} = \dfrac{9}{8}\,T_0\).

\(P_1 = 2p_0 = 2l\) — первоначальное давление воздуха в трубке. Пусть \(x\) — смещение вверх столбика ртути при температуре \(T\). Тогда \[\frac{2l\cdot Sl}{T_0} = \frac{(2l - x)\,S\,(l + x)}{T}, \qquad T = T_0\,\frac{(2l - x)(l + x)}{2l^2}.\] Это парабола ветвями вниз с корнями \(x = -l\) и \(x = 2l\) и максимумом при \(x = l/2\). Чтобы вытолкнуть всю ртуть, нужно пройти через максимум температуры: \[T = T_0\,\frac{\left(2l - \frac{l}{2}\right)\left(l + \frac{l}{2}\right)}{2l^2} = \frac{9}{8}\,T_0.\]

Какой путь пройдёт мюон за время жизни в лабораторной системе отсчёта? Учтите, что это время замедляется.

\(R_{\max} = c\tau_0\sqrt{\left(\dfrac{E}{mc^2}\right)^2 - 1}\).

Искомый радиус \(R_{\max} = v\tau\), где \(\tau\) — время жизни мюона в лабораторной системе отсчёта. Из формулы \(E = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\) получаем \(v = c\sqrt{1 - \left(\dfrac{mc^2}{E}\right)^2}\). Время жизни движущегося мюона \(\tau = \dfrac{\tau_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \tau_0\,\dfrac{E}{mc^2}\). Тогда \[R_{\max} = c\tau_0\,\frac{E}{mc^2}\sqrt{1 - \left(\frac{mc^2}{E}\right)^2} = c\tau_0\sqrt{\left(\frac{E}{mc^2}\right)^2 - 1}.\]

Выразите энергию, падающую на пластинку, через синус и косинус угла \(\alpha\), затем найдите максимум суммы \(E_1\sin\alpha + E_2\cos\alpha\).

\(\alpha = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt5} = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{2} \approx 26{,}6^\circ\).

Пусть лучи голубого пучка падают под углом \(\alpha\) к плоскости пластинки. Тогда на пластинку за единицу времени падает \[E = E_1\sin\alpha + E_2\cos\alpha = \sqrt{E_1^2 + E_2^2}\,\cos(\alpha - \beta),\] где \(\sin\beta = \dfrac{E_1}{\sqrt{E_1^2 + E_2^2}}\), \(\cos\beta = \dfrac{E_2}{\sqrt{E_1^2 + E_2^2}}\). Максимум \(E\) достигается при \(\alpha = \beta = \arcsin\dfrac{E_1}{\sqrt{E_1^2 + E_2^2}} = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt5} \approx 26{,}6^\circ\).