«Надежда энергетики», 2017/18, заключительный этап, 7 класс

Какие силы действуют на шарик, когда он наполнен воздухом? Сравните силу Архимеда с весом воздуха внутри шарика.

Показания весов не изменятся.

В первом случае показания весов определяются силой тяжести оболочки \(m_{\text{об}}g\); силой Архимеда здесь можно пренебречь. Во втором случае на весы действуют результирующая трёх сил: \(m_{\text{об}}g + m_{\text{возд}}g - F_{\text{арх}}\), где \(F_{\text{арх}} = \rho_{\text{возд}}\,g\,V_{\text{шарика}}\). Оболочка тонкая, а давление внутри шарика не может существенно превышать атмосферное, поэтому вес воздуха внутри шарика уравновешен силой Архимеда, и показания весов не меняются.

Сравните, какой путь за время \(\tau\) проезжает автобус и какой путь за то же время проезжает велосипедистка. Интервал между автобусами одинаков.

Вася выехал в 7.55 (через 10 мин после Пети).

Введём обозначения: \(\tau = 15\) мин, \(t\) — интервал движения автобусов. Тогда \(Vt = (V - v)\tau\), откуда \[t = \tau\left(1 - \frac{v}{V}\right) = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10 \text{ мин},\] т.е. Вася выехал в 7.55.

Давление равно силе, делённой на площадь опоры. Какие бруски опираются на каждый из рассматриваемых и какой гранью?

\(\dfrac{P_{5\to 4}}{P_{1\to\text{земля}}} = \dfrac{2}{7}\).

Давление бруска 5 на брусок 4: \(P_1 = \dfrac{2mg}{bc}\). Давление бруска 1 на землю: \(P_2 = \dfrac{(1{,}5 + 2)\,mg}{ac}\). Тогда \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{2\,ac}{3{,}5\,bc} = \frac{2}{7}.\]

Запишите равенство давлений в каждом прессе через силы и площади поршней. Выразите площади через радиусы и коэффициент \(x\).

\(F_2 = 100\) Н.

Пусть \(S_1\) — площадь малого поршня первого пресса, \(S_2\) — площадь его большого поршня. Для первого пресса \(F_2 = F_1 \dfrac{S_2}{S_1}\). У второго пресса площадь большого поршня равна \((1+x)^2 S_2\) (радиус больше в \((1+x)\) раз), а малого — \((1-x)S_1\). Поэтому \[F_3 = F_2\,\frac{(1+x)^2 S_2}{(1-x) S_1} = F_2^2\,\frac{(1+x)^2}{(1-x)\,F_1},\] откуда \[F_2 = \frac{\sqrt{F_1 F_3 (1 - x)}}{1 + x} = \frac{\sqrt{10 \cdot 1800 \cdot 0{,}8}}{1{,}2} = 100~\text{Н}.\]

Сравните объём вытесненной воды в двух состояниях: корабль с ёжиком на плаву и корабль на дне с ёжиком на плаву. Площадь бочки в обоих случаях одна и та же.

\(\dfrac{\rho}{\rho_в} = 2\).

Пусть \(m\) — масса ёжика, \(x_1 = 10\) мм — повышение уровня воды при плавании корабля с ёжиком, \(\rho = k\rho_в\) — средняя плотность материала корабля, \(x_2\) — повышение уровня после того, как корабль утонул, а ёжик остался на плаву. По условию \(x_1 - x_2 = 3\) мм, то есть \(x_2 = 7\) мм. В обоих состояниях \[(n + 1)\,m = \rho_в S x_1, \qquad \frac{nm}{k} + m = \rho_в S x_2,\] где \(S\) — площадь сечения бочки. Отсюда \[k = \frac{n\,x_1}{(n+1)\,x_2 - x_1} = \frac{1{,}5 \cdot 10}{2{,}5 \cdot 7 - 10} = 2.\]