зад 1 Воздушный шарик на весах
Каждый год в НИУ МЭИ проходит «Ночь техники», на которую приезжают школьники. Они посещают научные и учебные лаборатории и смотрят различные опыты. Один из опытов в лаборатории кафедры физики проводили следующим образом. Сначала на электронных весах взвесили оболочку воздушного шарика, а затем его надули и взвесили снова. Что произошло с показаниями весов? Объясните ответ.
▶ПодсказкаСкрыть
Подумайте, какие силы действуют на оболочку с воздухом внутри, и сравните вес воздуха внутри шарика с архимедовой силой, которую испытывает шарик в воздухе.
▶ОтветСкрыть
Показания весов не изменяются, если шарик накачали воздухом.
▶РешениеСкрыть
1 случай. На весах взвешивают оболочку воздушного шарика. Показания весов определяются силой тяжести, действующей на оболочку \(m_{\text{об}}g\); силой Архимеда в данном случае можно пренебречь.
2 случай. Шарик надули воздухом. Показания весов определяются результирующей трёх сил: \(m_{\text{об}}g + m_{\text{воздуха}}g - F_{\text{арх}}\), где \(F_{\text{арх}} = \rho_{\text{воздуха}}\,g\,V_{\text{шарика}}\). Поскольку оболочка тонкая, а давление внутри шарика не может существенно превышать атмосферное, показания весов не изменяются.
зад 2 Нагрев воды порциями
Для проведения физических опытов одноклассникам Пете и Кате была нужна вода с температурой в интервале от \(70^\circ\text{C}\) до \(80^\circ\text{C}\). Они взяли сосуд объёмом 2 литра и налили туда треть литра воды при температуре \(80^\circ\text{C}\). Когда вода остыла до \(70^\circ\text{C}\), Петя добавил к ней кипящей воды так, чтобы температура воды в сосуде вновь стала равна \(80^\circ\text{C}\). Так он поступал несколько раз, пока это позволял объём сосуда. На какую часть своего объёма оказался в конце концов заполнен сосуд?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите уравнение теплового баланса для одного долива и найдите, какую массу кипятка нужно добавлять по сравнению с массой уже налитой воды. Затем проследите, как растёт объём воды в сосуде от доливания к доливанию.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{27}{32} \approx 84\) % объёма сосуда.
▶РешениеСкрыть
Уравнение теплового баланса для одного долива: \(m t_1 + M t_2 = (m + M) t_3\), где \(m\) — масса воды, охлаждённой до \(t_1 = 70^\circ\text{C}\); \(M\) — масса доливаемой кипящей воды при температуре \(t_2 = 100^\circ\text{C}\); \(t_3 = 80^\circ\text{C}\). Из уравнения находим \(M = \dfrac{1}{2}\,m\).
Объёмы воды в сосуде принимают последовательность значений \[\frac13\ \text{л},\quad \frac12\ \text{л},\quad \frac34\ \text{л},\quad \frac98\ \text{л},\quad \frac{27}{16}\ \text{л},\quad \frac{81}{32}\ \text{л},\ \dots\] Таким образом, после четырёх доливаний вода в сосуде займёт объём \(\dfrac{27}{16}\) л. При этом сосуд наполнен на \(\dfrac{27}{2\cdot 16} = \dfrac{27}{32} \approx 84\) %.
зад 3 Муха между зеркалами
Два плоских зеркала, расположенных вертикально, образуют прямой угол. Муха летит горизонтально так, что её скорость \(v\) направлена в ребро угла и образует угол \(\alpha = 30^\circ\) с одним из зеркал. Сколько своих отражений видит муха и с какими скоростями относительно неё они движутся?
▶ПодсказкаСкрыть
Постройте изображения мухи в каждом зеркале и в их общем отражении. Найдите скорость каждого изображения как сумму скорости мухи и скорости перемещения изображения, учитывая угол между скоростью и зеркалом.
▶ОтветСкрыть
Муха видит три своих изображения; они движутся ей навстречу со скоростями \(v\), \(2v\) и \(\sqrt{3}\,v\).
▶РешениеСкрыть
На рисунке показаны изображения мухи и скорости изображений.
Нетрудно увидеть, что навстречу мухе движутся три её изображения со скоростями: \[v_1 = 2v\sin\alpha = v; \qquad v_2 = 2v; \qquad v_3 = 2v\cos\alpha = \sqrt{3}\,v.\]
зад 4 Модель корабля в бочке
Петя сделал модель корабля и стал испытывать её в цилиндрической бочке. К Пете подошла его младшая сестра Лена, посадила на корабль в качестве «пассажира» своего резинового ёжика и стала играть. Петя заметил, что при плавании корабля с ёжиком уровень воды в бочке выше на \(1\) см того уровня воды, который был в бочке изначально (без корабля и без ёжика). В результате неосторожности при игре корабль перевернулся и пошёл ко дну, при этом ёжик остался на плаву. Петя заметил, что уровень воды в бочке при этом понизился на \(3\) мм. Попробуйте рассчитать отношение средней плотности материала модели корабля к плотности воды, если масса корабля в \(n = \dfrac{3}{2}\) раза больше массы ёжика.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие плавания для корабля вместе с ёжиком и условие плавания ёжика отдельно, а затем сравните, как изменится уровень воды из-за объёма, вытесненного кораблём, когда он утонул.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{\rho}{\rho_{\text{в}}} = 2\).
▶РешениеСкрыть
Обозначения: \(m\) — масса ёжика; \(x_1 = 10\) мм — повышение уровня воды из-за корабля и ёжика по отношению к уровню пустой бочки; \(\rho = k\rho_{\text{в}}\) — средняя плотность материала модели корабля; \(x_2\) — повышение уровня воды после падения ёжика и утопления корабля по отношению к уровню пустой бочки; \(x = x_1 - x_2 = 3\) мм — понижение уровня воды в бочке.
Условия плавания корабля с ёжиком и ёжика после падения, где \(S\) — площадь дна бочки: \[\begin{cases} nm + m = \rho_{\text{в}} S x_1,\\[2pt] \dfrac{nm}{k} + m = \rho_{\text{в}} S x_2. \end{cases}\] Из системы получаем \[k = \frac{n x_1}{(n+1)x_2 - x_1} = \frac{n x_1}{(n+1)(x_1 - x) - x_1}.\] Подставляя \(n = 1{,}5\), \(x_1 = 10\) мм и \(x = 3\) мм: \[k = \frac{1{,}5 \cdot 10}{2{,}5 \cdot 7 - 10} = 2.\]
зад 5 Картина дядюшки Поджера
Дядюшка Поджер (персонаж юмористической повести Дж. К. Джерома «Трое в лодке, не считая собаки») забил гвоздь в стену и собрался вешать картину. У него есть моток прекрасного шелкового шнура, кусок которого он закрепил в специальных защелках в двух верхних углах картины и накинул шнурок на гвоздь. Однако картина никак не желала висеть ровно – она постоянно сползала то в одну, то в другую сторону. Очевидно, трение между шнурком и гвоздем было слишком мало. Определите, какой длины должен быть шнурок, чтобы дядюшка Поджер смог всё же ровно подвесить прямоугольную картину с размерами \(a = 3\) фута по горизонтали и \(b = 2\) фута по вертикали, если полностью пренебречь трением между шнурком и гвоздем. Считать также, что защелки в углах картины не требуют дополнительной длины шнурка для его фиксации, а их массой, как и массой самого шнурка, можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Картина висит ровно, когда нить из углов касается гвоздя так, что обе части нити равны по натяжению; подумайте, при каком расположении гвоздя относительно центра картины равновесие сохраняется, если картину немного повернуть.
▶ОтветСкрыть
Устойчивое равновесие возможно, если \(l \ge \dfrac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2} \approx 5{,}4\) фута.
▶РешениеСкрыть
Рис. 1: картина находится в равновесии — моменты сил натяжения нити равны, так как \(T_1 = T_2\) и \(d_1 = d_2\).
Рис. 2, 3: картину вывели из положения равновесия, повернув вправо. Равновесие устойчиво, если момент силы \(T_2\) больше момента силы \(T_1\). Так как \(T_1 = T_2\), следовательно, \(d_2 > d_1\) — равновесие устойчивое; при \(d_2 < d_1\) — неустойчивое. Именно \(d_2 > d_1\) при угле \(\alpha > 90^\circ\) (рис. 3), а \(d_2 < d_1\) при \(\alpha < 90^\circ\) (рис. 2).
Рассмотрим крайний случай \(\alpha = 90^\circ\) (рис. 1). Здесь \(p\) — половина диагонали картины. Из подобия треугольников \[\frac{b}{2p} = \frac{a/2}{l/2}, \qquad l_{\text{кр}} = \frac{2ap}{b} = \frac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2}.\] Подставляя \(a = 3\) фута и \(b = 2\) фута, получаем \(l_{\text{кр}} \approx 5{,}4\) фута.
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2017/18, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.