зад 1 Электронный пучок и кольцо с зарядом
Каждый год в НИУ МЭИ проходит «Ночь техники», на которую приезжают старшеклассники. В этом году в учебной лаборатории кафедры физики они наблюдали траекторию движения электронного пучка в электровакуумном приборе под действием электрического и магнитного полей. Школьники поняли, что действие электрического поля приводит к изменению скорости заряженной частицы. После опытов преподаватель предложил им решить следующую задачу: «Тонкое закреплённое металлическое кольцо радиусом \(R\) заряжено положительным зарядом. На оси кольца на одинаковых расстояниях \(R\) от плоскости кольца располагаются точки \(A\) и \(B\). Из точки \(A\) в точку \(B\) начинает двигаться со скоростью \(v_{\text{A}}\) отрицательно заряженная частица. Как изменится время движения частицы из точки \(A\) в точку \(B\), если заряд частицы изменить на противоположный?» Ответьте на вопрос задачи и объясните ответ.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните, как меняется скорость частицы на пути от \(A\) до \(B\) для притягивающего и отталкивающего случаев. Площадь под графиком \(v(t)\) даёт путь, который одинаков в обоих случаях.
▶ОтветСкрыть
Время движения увеличится: \(t_1 < t_2\), где \(t_1\) — время движения отрицательно заряженной частицы, \(t_2\) — время движения положительно заряженной частицы.
▶РешениеСкрыть
Поскольку заряд кольца положительный, отрицательно заряженная частица на участке \(AO\) ускоряется, и в центре кольца её скорость становится больше начальной, а потом начинает убывать. Примерный график зависимости скорости от времени приведён на рисунке.
Для положительно заряженной частицы ситуация обратная. Поскольку площади под кривыми должны быть одинаковы и равны пути, пройденному частицей, очевидно, что время движения первой частицы меньше времени движения второй. Если заряд кольца \(Q > 0\), то \(t_1 < t_2\).
зад 2 Муха между зеркалами
Два плоских зеркала, расположенных вертикально, образуют прямой угол. Муха летит горизонтально так, что её скорость \(v\) направлена в ребро угла и образует угол \(\alpha = 30^\circ\) с одним из зеркал. Сколько своих отражений видит муха и с какими скоростями относительно неё они движутся?
▶ПодсказкаСкрыть
Постройте изображения мухи в каждом зеркале и в их общем отражении. Найдите скорость каждого изображения относительно мухи, учитывая угол между скоростью мухи и зеркалом.
▶ОтветСкрыть
Муха видит три своих изображения; они движутся ей навстречу со скоростями \(v\), \(2v\) и \(\sqrt{3}\,v\).
▶РешениеСкрыть
На рисунке показаны изображения мухи и скорости изображений.
Нетрудно увидеть, что навстречу мухе движутся три её изображения со скоростями: \[v_1 = 2v\sin\alpha = v; \qquad v_2 = 2v; \qquad v_3 = 2v\cos\alpha = \sqrt{3}\,v.\]
зад 3 Тепловая машина и груз
На какую максимальную высоту можно с помощью тепловой машины поднять груз массой \(10\) кг, если охладить его на \(\Delta T = 0{,}1\) К и использовать отданное им тепло для нагревания рабочего тела этой машины? Количество теплоты, отданное рабочим телом машины окружающей среде, составляет \(\dfrac34\) от количества теплоты, полученного им от нагревателя. Теплоёмкость груза \(C = 4000\) \(\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько теплоты получает рабочее тело от груза? Какая доля этой теплоты превращается в работу, если отдано \(\frac34\) полученной теплоты? Работа идёт на подъём груза.
▶ОтветСкрыть
\(h = 1\) м.
▶РешениеСкрыть
Тепловая машина получит количество теплоты \(Q = C\,\Delta T\). КПД машины \[\eta = \frac{Q - \frac34 Q}{Q} = \frac14.\] Работа машины \(A = \eta Q = \dfrac14 C\,\Delta T = mgh\), откуда \[h = \frac{C\,\Delta T}{4mg} = 1~\text{м}.\]
зад 4 Два мячика, брошенные из одной точки
Два мячика брошены из одной точки так, что их импульсы \(\vec p_1\) и \(\vec p_2\) перпендикулярны друг другу. В некоторый момент времени импульс первого мячика становится равным \(\vec p_1\,{}' = -\vec p_1\), а модуль импульса второго становится равным \(p_2\,{}' = 5p_1\). Определите отношение модулей начальных импульсов, если масса второго мячика в два раза больше массы первого. Силой сопротивления воздуха можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Оба мячика движутся только под действием силы тяжести, поэтому изменение импульса каждого пропорционально его массе и времени. Сопоставьте, какое направление имеет импульс каждого мячика в начале.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{p_2}{p_1} = 3\).
▶РешениеСкрыть
Из условия понятно, что первый мячик брошен вертикально вверх, а второй — горизонтально. В течение одинакового времени на оба мячика действовала сила тяжести. Из закона изменения импульса \(\Delta\vec P_i = m_i\vec g\,\Delta t\) следует, что \[|\Delta P_2| = 2\,|\Delta P_1| = 4P_1,\] поскольку \(m_2 = 2m_1\) и \(|\Delta P_1| = 2P_1\). Тогда \[P_2\,{}' = 5P_1 = \sqrt{16P_1^2 + P_2^2}.\] Получаем \(P_2 = 3P_1\).
зад 5 Картина дядюшки Поджера
Дядюшка Поджер (персонаж юмористической повести Дж. К. Джерома «Трое в лодке, не считая собаки») забил гвоздь в стену и собрался вешать картину. У него есть моток прекрасного шелкового шнура, кусок которого он закрепил в специальных защелках в двух верхних углах картины и накинул шнурок на гвоздь. Однако картина никак не желала висеть ровно – она постоянно сползала то в одну, то в другую сторону. Очевидно, трение между шнурком и гвоздем было слишком мало. Определите, какой длины должен быть шнурок, чтобы дядюшка Поджер смог всё же ровно подвесить прямоугольную картину с размерами \(a = 3\) фута по горизонтали и \(b = 2\) фута по вертикали, если полностью пренебречь трением между шнурком и гвоздем. Считать также, что защелки в углах картины не требуют дополнительной длины шнурка для его фиксации, а их массой, как и массой самого шнурка, можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Картина висит ровно, когда нить из углов касается гвоздя так, что обе части нити равны по натяжению; подумайте, при каком расположении гвоздя относительно центра картины равновесие сохраняется, если картину немного повернуть.
▶ОтветСкрыть
Устойчивое равновесие возможно, если \(l \ge \dfrac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2} \approx 5{,}4\) фута.
▶РешениеСкрыть
Рис. 1: картина находится в равновесии — моменты сил натяжения нити равны, так как \(T_1 = T_2\) и \(d_1 = d_2\).
Рис. 2, 3: картину вывели из положения равновесия, повернув вправо. Равновесие устойчиво, если момент силы \(T_2\) больше момента силы \(T_1\). Так как \(T_1 = T_2\), следовательно, \(d_2 > d_1\) — равновесие устойчивое; при \(d_2 < d_1\) — неустойчивое. Именно \(d_2 > d_1\) при угле \(\alpha > 90^\circ\) (рис. 3), а \(d_2 < d_1\) при \(\alpha < 90^\circ\) (рис. 2).
Рассмотрим крайний случай \(\alpha = 90^\circ\) (рис. 1). Здесь \(p\) — половина диагонали картины. Из подобия треугольников \[\frac{b}{2p} = \frac{a/2}{l/2}, \qquad l_{\text{кр}} = \frac{2ap}{b} = \frac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2}.\] Подставляя \(a = 3\) фута и \(b = 2\) фута, получаем \(l_{\text{кр}} \approx 5{,}4\) фута.
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2017/18, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.