«Надежда энергетики», 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Луч не должен выходить через боковую поверхность нити, значит, на ней должно выполняться условие полного внутреннего отражения. Свяжите угол падения на торец с углом преломления на торце.

Свет пройдет без ослабления при любом угле падения.

Для того чтобы луч прошёл по световоду без ослабления, необходимо выполнение условия полного внутреннего отражения на боковой поверхности: \(\sin\alpha_2 > \dfrac{1}{n}\). Максимальный угол падения \(\alpha_1\) на торец соответствует максимально возможному углу преломления \(\beta_1\), причём \(\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\beta_1} = n\). Тогда \(\sin\beta_1 = \cos\alpha_2 = \dfrac{1}{n}\sin\alpha_1\) и \[\sin\alpha_2 = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha_1}{n^2}} > \frac{1}{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2\alpha_1 < n^2 - 1 .\] При \(n^2 = 2\) это условие означает \(\sin^2\alpha_1 < 1\), что выполняется при любом угле падения \(\alpha_1\). Значит, луч пройдёт по световоду без ослабления при любом угле падения на торец.

Ток в электролите течёт поперёк сосуда, поэтому сила Ампера горизонтальна. Свободная поверхность электролита установится перпендикулярно сумме силы тяжести и силы Ампера, действующей на элемент жидкости.

\(\Delta h = h\,\operatorname{tg}\alpha = h\,\dfrac{U}{\rho m}\,B\,a^2\).

Поскольку между металлическими стенками сосуда поддерживается постоянная разность потенциалов, в электролите течёт ток плотностью \(j\). Если обозначить расстояние между металлическими стенками \(l\), то \[j = \frac{I}{S} = \frac{U}{RS} = \frac{U}{\rho l} .\] Под действием силы Ампера поверхность жидкости наклоняется под углом \(\alpha\) к горизонту между диэлектрическими стенками, и появляется разность уровней \(\Delta h\). Выделим элемент массы \(\Delta m\) (объём \(\Delta V = \Delta S\cdot l\)) жидкого электролита.

На элемент \(\Delta m\) действуют три силы: сила тяжести \(\Delta m\,g\), сила Ампера \(F_2\) и сила реакции нижележащих слоёв электролита \(F_1\). Через элемент течёт ток \(\Delta I = j\,\Delta S\), поэтому сила Ампера, действующая на него, равна \[F_2 = \Delta I\, l B = \frac{U\,\Delta S}{\rho}\,B .\] Из условия равновесия элемента \(\Delta m\,g = F_1\cos\alpha\), \(F_2 = F_1\sin\alpha\), откуда \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{F_2}{\Delta m\,g}\). Выражая \(\Delta m = \rho_{\text{ж}}\Delta S\, l\) и учитывая, что плотность электролита \(\rho_{\text{ж}} = \dfrac{m}{l a h}\), получаем разность уровней электролита между диэлектрическими стенками: \[\Delta h = h\,\operatorname{tg}\alpha = h\,\frac{U}{\rho m}\,B\,a^2 .\]

Запишите закон сохранения энергии для разгона: работа двигателя равна сумме приращения кинетической энергии и выделившейся теплоты. Работу двигателя удобно выразить через силу трения и путь, пройденный колёсами.

\(\dfrac{Q}{\Delta W_{\text{к}}} = \dfrac{(k-1)^2}{k^2-1} = \dfrac{k-1}{k+1}\).

Из закона сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} + A = \frac{m(kv)^2}{2} + Q .\] Работа двигателя при разгоне равна \[A = F\cdot(kv)\cdot t_{\text{разгона}} = ma\cdot kv\cdot\frac{kv - v}{a} = mv^2k(k-1) = \frac{mv^2}{2}\cdot 2k(k-1),\] поэтому выделившееся количество теплоты \[Q = \frac{mv^2}{2}\bigl(1 + 2k^2 - 2k - k^2\bigr) = \frac{mv^2}{2}\bigl(k^2 - 2k + 1\bigr) = \frac{mv^2}{2}(k-1)^2 .\] С учётом изменения кинетической энергии \(\Delta W_{\text{к}} = \dfrac{mv^2}{2}(k^2 - 1)\) получаем \[\frac{Q}{\Delta W_{\text{к}}} = \frac{(k-1)^2}{k^2-1} = \frac{k-1}{k+1} .\]

Уравнение неразрывности связывает скорость и глубину потока. Закон сохранения энергии для элемента жидкости дает связь скоростей на концах желоба.

\(h_2 = 2\) м.

Уравнение непрерывности для потока: \(V_1 S_1 = V_2 S_2\). При постоянной ширине желоба сечения потока связаны с глубинами, поэтому \(V_1 h_1 = V_2 h_2\), где \(V_2\) — скорость потока в конце желоба.

По закону сохранения энергии для элемента потока массы \(m\): \[\frac{mV_1^2}{2} + mgL\sin\alpha = \frac{mV_2^2}{2},\] где \(\alpha = 30^\circ\) — угол наклона водосброса. Подставляя \(V_2 = V_1 h_1/h_2\), получаем \[h_2 = h_1\sqrt{\frac{V_1^2}{V_1^2 + 2gL\sin\alpha}} = \frac{3\cdot 20}{\sqrt{400 + 2\cdot 10\cdot 50\cdot 0{,}5}} = 2~\text{м}.\]

При абсолютно упругом столкновении одинаковых тел они обмениваются скоростями. Поэтому можно считать, что вагоны проходят друг сквозь друга, а на графике «время — координата» каждый вагон движется по своей прямой.

Расстояния от тупикового упора до вагонов равны: \(200\), \(300\), \(600\), \(700\), \(800\), \(900\), \(1100\), \(1500\) м. Скорости вагонов равны: \(5{,}4\) км/ч; \(9\) км/ч; \(16{,}2\) км/ч; \(21{,}6\) км/ч; \(28{,}8\) км/ч; \(32{,}4\) км/ч; \(43{,}2\) км/ч; \(54\) км/ч.

Построим графики движения всех вагонов на диаграмме «время — координата» (\(t\)–\(x\)). Между столкновениями графики каждого вагона — прямые линии (движение прямолинейное, равномерное). В процессе столкновения происходит обмен скоростями, поэтому графики после столкновения продолжают те же прямые линии: происходит только обмен линиями между вагонами. Например, \(n\)-й вагон, двигавшийся «по синей линии», после столкновений движется по синей линии, которая лишь меняет угол наклона в точках столкновений.

После того как линии достигнут координаты пружинного упора, они «отражаются» от этой вертикальной линии так, что угол падения равен углу отражения, поскольку сохраняется модуль скорости. Если построить отражение продолжения линий в «зазеркалье» (за пружинным упором), то они продолжают первоначальные прямые. Единственное, что теряется при такой замене, — это ещё одно пересечение исходных линий (столкновение вагонов). Но если обеспечить на финише такую же последовательность вагонов, как и на старте, то каждая пара линий будет иметь пересечение. Самая пологая линия на графике соответствует последнему вагону, скорость движения которого максимальна. По этой линии можно определить время движения \[T = \frac{2x_N}{V_N} = \frac{2\cdot 1500}{15} = 200~\text{с}.\] По формуле \(\Delta_n = V_nT - x_n\) рассчитываются конечные координаты вагонов. Расстояния до упора равны соответственно \(200\), \(300\), \(600\), \(700\), \(800\), \(900\), \(1100\), \(1500\) м. Скорости вагонов остаются прежними, поскольку происходит последовательность абсолютно упругих соударений.