«Надежда энергетики», 2018/19, заключительный этап, 7 класс

Подумайте, какие силы действуют на запаянный торец трубки снаружи и изнутри, и что показывает динамометр, если учесть вес самой трубки.

Можно.

На верхний торец запаянной трубки сверху вниз действует сила атмосферного давления. Изнутри трубки эта сила ничем не компенсируется, так как над ртутью в трубке находятся пары ртути, давлением которых можно пренебречь. Сила атмосферного давления в точности равна весу ртути в трубке. Таким образом, показания динамометра равны сумме веса стеклянной трубки и силы атмосферного давления. Следовательно, показания динамометра можно использовать для определения атмосферного давления.

Сколько грунта нужно перевезти всего и сколько одному самосвалу на один рейс? Сколько рейсов сделает один самосвал за смену и какой путь он при этом проедет?

\(v \approx 35\) км/ч.

Общий объём построенного участка дамбы \(V' = SL\). Объём грунта, перевозимый одним самосвалом за рейс, \(V_0 = \dfrac{m}{\rho}\). Значит, всего должно быть сделано \(\dfrac{V'}{V_0} = \dfrac{\rho S L}{m}\) рейсов, а один самосвал сделает \(N_0 = \dfrac{\rho S L}{N m}\) рейсов.

Весь путь, пройденный самосвалом за смену, складывается из \(N_0\) рейсов туда и обратно: \(2 l N_0\). Этот путь проходится за время движения, которое составляет \(0{,}9\,t\) от смены \(t\) (остальные \(10\) % уходят на погрузку-разгрузку). Отсюда средняя скорость самосвала \[v = \frac{2 l N_0}{0{,}9\,t} = \frac{2 l L \rho S}{0{,}9\,t\,N m} = \frac{2 \cdot 2{,}5 \cdot 50 \cdot 2500 \cdot 200}{0{,}9 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 50\,000} \approx 35~\text{км/ч}.\]

Запишите условие плавания каждого кубика по отдельности: вес равен силе Архимеда. Затем для всего параллелепипеда.

\(h = \dfrac{7}{6}\,a\); ответ не изменится, если кубики поменять местами.

Для кубика, наполовину погружённого в воду, условие плавания: \(\rho_1 a^3 = \dfrac{1}{2}\rho_{\text{в}} a^3\), поэтому \(\rho_1 = \dfrac{1}{2}\rho_{\text{в}}\). Для второго кубика: \(\rho_2 a^3 = \dfrac{2}{3}\rho_{\text{в}} a^3\), поэтому \(\rho_2 = \dfrac{2}{3}\rho_{\text{в}}\).

Обозначим глубину погружения нижней грани в воду как \(h\). Тогда условие плавания параллелепипеда: \[(\rho_1 + \rho_2)\,a^3 = \rho_{\text{в}}\, h\, a^2,\] откуда \(\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\right) a = h\), то есть \(h = \dfrac{7}{6}\,a\).

Введите время каждого участка движения: поездка Пети с Катей, возвращение Пети к Ване, поездка с Ваней до школы и пешая часть Кати. Выразите путь каждого через эти времена.

\(u = 5\) км/ч.

Обозначим: \(u\) — скорость ходьбы; \(t_1\) — Катя и Петя едут на скутере; \(t_2\) — Петя возвращается к Ване на скутере; \(t_3\) — Ваня и Петя едут на скутере до школы; \(t_{\text{к}}\) — Катя идёт пешком до школы. Петя проезжает расстояние \(Vt_1\) «вперёд» и \(Vt_2\) «назад».

Координата Пети на скутере до встречи с Ваней: \(V(t_1 - t_2)\). Координата Вани до встречи с Петей: \(u(t_1 + t_2)\). Поэтому \[V(t_1 - t_2) = u(t_1 + t_2). \qquad (1)\] Расстояние от дома до школы: \(S = Vt_1 + ut_{\text{к}}\). Время движения Пети до школы \(T = t_1 + t_2 + t_3\), время движения Кати \(T = t_1 + t_{\text{к}}\), поэтому \(t_{\text{к}} = t_2 + t_3\). Тогда \[S = Vt_1 + u(t_2 + t_3) = v_{\text{ср}}(t_1 + t_2 + t_3). \qquad (2)\] Путь Вани до школы: \(S = u(t_1 + t_2) + Vt_3\). Сравнивая с путём Кати, получаем \(Vt_1 + u(t_2 + t_3) = u(t_1 + t_2) + Vt_3\), откуда \(t_1 = t_3\).

Подставляя \(t_3 = t_1\) в (1) и (2), получаем систему \[\begin{cases} Vt_1 + u(t_1 + t_2) = v_{\text{ср}}(2t_1 + t_2),\\ Vt_1 - Vt_2 = u(t_1 + t_2), \end{cases}\] из второго уравнения \(t_2 = \dfrac{V - u}{V + u}\,t_1\). Подставляя в первое, находим \[v_{\text{ср}} = \frac{V(V + 3u)}{3V + u}, \qquad u = \frac{V(3v_{\text{ср}} - V)}{3V - v_{\text{ср}}} = \frac{15\,(27 - 15)}{45 - 9} = 5~\text{км/ч}.\]

Одинаковые массы при упругих ударах обмениваются скоростями, поэтому можно считать, что вагоны проходят друг сквозь друга. Что произойдёт с траекторией при отражении от упора, если это похоже на зеркало?

Расстояния от тупикового упора до вагонов: \(300\), \(700\), \(900\), \(1500\) м. Скорости вагонов: \(9\) км/ч; \(21{,}6\) км/ч; \(32{,}4\) км/ч; \(54\) км/ч.

Построим графики движения всех вагонов на диаграмме «время — координата» (\(t\)–\(x\)). Между столкновениями графики каждого вагона — прямые линии (движение равномерное). При столкновении происходит обмен скоростями, поэтому графики после столкновения продолжают те же прямые линии, меняется лишь то, какой вагон движется по какой линии. Когда линия достигает координаты пружинного упора, она отражается от вертикали так, что угол падения равен углу отражения, поскольку модуль скорости сохраняется. Если продолжить отражённые линии в «зазеркалье» за упор, они продолжат первоначальные прямые (ситуация полностью аналогична отражению от плоского зеркала). При такой замене теряется лишь одно пересечение исходных линий (столкновение вагонов), но если обеспечить на финише такую же последовательность вагонов, как и на старте (реальные вагоны не могут проходить друг сквозь друга), то каждая пара линий, соответствующая паре вагонов, имеет пересечение, как показано на рисунке.

Самая пологая линия на графике соответствует последнему вагону, скорость движения которого максимальна. По ней определяем время движения: \[T = \frac{2x_N}{V_N} = \frac{2 \cdot 1500}{15} = 200~\text{с}.\] По формуле \(\Delta_n = V_n T - x_n\) рассчитываем конечные координаты вагонов, где \(\Delta_n\) — расстояние от упора. Получаем \(300\), \(700\), \(900\) и \(1500\) м. Скорости вагонов останутся прежними, поскольку происходит последовательность абсолютно упругих соударений.