«Надежда энергетики», 2018/19, заключительный этап, 8 класс

Подумайте, какие силы действуют на запаянный торец трубки снаружи и изнутри, и что показывает динамометр, если учесть вес самой трубки.

Можно: показания динамометра можно использовать для определения атмосферного давления.

На верхний торец запаянной трубки сверху вниз действует сила атмосферного давления. Изнутри трубки эта сила ничем не компенсируется, так как над ртутью в трубке находятся пары ртути, давлением которых можно пренебречь. Сила атмосферного давления в точности равна весу ртути в трубке. Таким образом, показания динамометра равны сумме веса стеклянной трубки и силы атмосферного давления. Следовательно, показания динамометра можно использовать для определения атмосферного давления. Атмосферное давление будет равно разности показаний динамометра и веса пустой стеклянной трубки, делённой на площадь поперечного сечения трубки.

Сравните энергию, которую вода отдаёт при одном приливном цикле, с выработкой станции за то же время с учётом КПД.

\(h \approx 3{,}8\) м.

Полезная работа \(A = P \cdot 2t\) совершается за счёт изменения потенциальной энергии при перепадах уровней воды при приливном наполнении и опустошении залива. Эта энергия \[E = mgh = \rho S h\, g\, h = \rho g S h^2.\] С учётом КПД \(\eta = 0{,}6\) получаем \(P \cdot 2t = \eta\,\rho g S h^2\), откуда \[h = \sqrt{\dfrac{P \cdot 2t}{\eta\,\rho g S}} = \sqrt{\dfrac{12 \cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3600}{0{,}6 \cdot 1000 \cdot 5 \cdot 10^6 \cdot 10}} \approx 3{,}8~\text{м}.\] Здесь \(h^2 = 14{,}4\) м\(^2\).

Введите время каждого участка движения: поездка Пети с Катей, возвращение Пети к Ване, поездка с Ваней до школы и пешая часть Кати. Выразите путь каждого через эти времена.

\(u = 5\) км/ч.

Обозначим: \(u\) — скорость ходьбы; \(t_1\) — Катя и Петя едут на скутере; \(t_2\) — Петя возвращается к Ване на скутере; \(t_3\) — Ваня и Петя едут на скутере до школы; \(t_{\text{к}}\) — Катя идёт пешком до школы. Петя проезжает расстояние \(Vt_1\) «вперёд» и \(Vt_2\) «назад».

Координата Пети на скутере до встречи с Ваней: \(V(t_1 - t_2)\). Координата Вани до встречи с Петей: \(u(t_1 + t_2)\). Поэтому \[V(t_1 - t_2) = u(t_1 + t_2). \qquad (1)\] Расстояние от дома до школы: \(S = Vt_1 + ut_{\text{к}}\). Время движения Пети до школы \(T = t_1 + t_2 + t_3\), время движения Кати \(T = t_1 + t_{\text{к}}\), поэтому \(t_{\text{к}} = t_2 + t_3\). Тогда \[S = Vt_1 + u(t_2 + t_3) = v_{\text{ср}}(t_1 + t_2 + t_3). \qquad (2)\] Путь Вани до школы: \(S = u(t_1 + t_2) + Vt_3\). Сравнивая с путём Кати, получаем \(Vt_1 + u(t_2 + t_3) = u(t_1 + t_2) + Vt_3\), откуда \(t_1 = t_3\).

Подставляя \(t_3 = t_1\) в (1) и (2), получаем систему \[\begin{cases} Vt_1 + u(t_1 + t_2) = v_{\text{ср}}(2t_1 + t_2),\\ Vt_1 - Vt_2 = u(t_1 + t_2), \end{cases}\] из второго уравнения \(t_2 = \dfrac{V - u}{V + u}\,t_1\). Подставляя в первое, находим \[v_{\text{ср}} = \frac{V(V + 3u)}{3V + u}, \qquad u = \frac{V(3v_{\text{ср}} - V)}{3V - v_{\text{ср}}} = \frac{15\,(27 - 15)}{45 - 9} = 5~\text{км/ч}.\]

Подумайте, что не меняется при увеличении расхода воды: сколько теплоты подшипник отдаёт воде в единицу времени.

\(t_{\text{кон}}/t_{\text{нач}} = 1{,}5\), то есть температуры отличаются в \(1{,}5\) раза.

Количество теплоты, отдаваемое подшипником воде в единицу времени, во всех режимах одинаково, а расход воды пропорционален массе воды, прокачиваемой за единицу времени. Поэтому \[cm_1(t_{1,\text{кон}} - t_{\text{нач}}) = cm_2(t_{2,\text{кон}} - t_{\text{нач}}),\] где \(c\) — теплоёмкость воды, \(t_{1,\text{кон}}\) и \(t_{2,\text{кон}}\) — температуры воды на выходе из подшипника в первом и втором режимах, \(t_{\text{нач}}\) — температура на входе. Так как \(m_2 = 2m_1\), отсюда \(t_{1,\text{кон}} - t_{\text{нач}} = 2(t_{2,\text{кон}} - t_{\text{нач}})\). В первом режиме \(t_{1,\text{кон}} = 2t_{\text{нач}}\), поэтому \(t_{\text{нач}} = 2t_{2,\text{кон}} - 2t_{\text{нач}}\), откуда \(\dfrac{t_{2,\text{кон}}}{t_{\text{нач}}} = 1{,}5\).

Одинаковые массы при упругих ударах обмениваются скоростями, поэтому можно считать, что вагоны проходят друг сквозь друга. Что произойдёт с траекторией при отражении от упора, если это похоже на зеркало?

Расстояния от тупикового упора до вагонов: \(300\), \(700\), \(900\), \(1500\) м. Скорости вагонов: \(9\) км/ч; \(21{,}6\) км/ч; \(32{,}4\) км/ч; \(54\) км/ч.

Построим графики движения всех вагонов на диаграмме «время — координата» (\(t\)–\(x\)). Между столкновениями графики каждого вагона — прямые линии (движение равномерное). При столкновении происходит обмен скоростями, поэтому графики после столкновения продолжают те же прямые линии, меняется лишь то, какой вагон движется по какой линии. Когда линия достигает координаты пружинного упора, она отражается от вертикали так, что угол падения равен углу отражения, поскольку модуль скорости сохраняется. Если продолжить отражённые линии в «зазеркалье» за упор, они продолжат первоначальные прямые (ситуация полностью аналогична отражению от плоского зеркала). При такой замене теряется лишь одно пересечение исходных линий (столкновение вагонов), но если обеспечить на финише такую же последовательность вагонов, как и на старте (реальные вагоны не могут проходить друг сквозь друга), то каждая пара линий, соответствующая паре вагонов, имеет пересечение, как показано на рисунке.

Самая пологая линия на графике соответствует последнему вагону, скорость движения которого максимальна. По ней определяем время движения: \[T = \frac{2x_N}{V_N} = \frac{2 \cdot 1500}{15} = 200~\text{с}.\] По формуле \(\Delta_n = V_n T - x_n\) рассчитываем конечные координаты вагонов, где \(\Delta_n\) — расстояние от упора. Получаем \(300\), \(700\), \(900\) и \(1500\) м. Скорости вагонов останутся прежними, поскольку происходит последовательность абсолютно упругих соударений.