«Надежда энергетики», 2018/19, заключительный этап, 9 класс

Подумайте, какие силы действуют на запаянный торец трубки снаружи и изнутри, и что показывает динамометр, если учесть вес самой трубки.

Показания динамометра можно использовать для определения атмосферного давления.

На верхний торец запаянной трубки сверху вниз действует сила атмосферного давления. Изнутри трубки эта сила ничем не компенсируется, так как над ртутью в трубке находятся пары ртути, давлением которых можно пренебречь. Сила атмосферного давления в точности равна весу ртути в трубке. Таким образом, показания динамометра равны сумме веса стеклянной трубки и силы атмосферного давления. Следовательно, показания динамометра можно использовать для определения атмосферного давления.

Тело начнёт двигаться, когда сила превысит максимальную силу трения покоя. Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей силы, то есть площади под графиком на участке движения.

\(\mu = 0{,}5\).

Тело начнёт двигаться, когда действующая на него сила превысит максимальную силу трения покоя \(F_{\text{тр}} = \mu m g = 20\mu\) Н. По графику сила растёт от нуля линейно, поэтому это произойдёт в момент \(t_0 = 2\mu\) с (на рисунке \(F(t_0) = 20\mu\)). Изменение импульса тела равно площади трапеции под графиком равнодействующей силы \(F - \mu m g\) на отрезке от \(t_0\) до \(4\) с: \[m v = \frac{1}{2}\Big((4 - 2) + (4 - 2\mu)\Big)\cdot(20 - 20\mu).\] После подстановки данных \(mv = 2 \cdot 12{,}5 = 25\) Н\(\cdot\)с: \[(6 - 2\mu)(1 - \mu) = 2{,}5,\] то есть \(4\mu^2 - 16\mu + 7 = 0\). Корни \(\mu = 0{,}5\) и \(\mu = 3{,}5\); физически подходит \(\mu = 0{,}5\).

КПД равен отношению электрической мощности к механической мощности водяного потока. Что меняется при увеличении расхода воды и силы тока, а что остаётся постоянным?

КПД увеличился в \(1{,}5\) раза.

Полный КПД гидрогенератора \[\eta = \frac{I U_0 t}{m g h},\] где \(\dfrac{mgh}{t}\) — механическая мощность, развиваемая элементом водяного потока массой \(m\), а отношение \(\dfrac{m}{t}\) есть расход воды через гидротурбину; \(h\) — расстояние по вертикали от уровня воды в водохранилище до лопастей гидрогенератора, \(I U_0\) — электрическая мощность, вырабатываемая гидрогенератором.

Гидрогенератор устроен так, чтобы напряжение на его клеммах не менялось со временем, поэтому \(U_0 = \text{const}\). Увеличение энергопотребления влияет только на силу тока \(I\). Если энергопотребление возросло в \(3\) раза, то и сила тока возросла в \(3\) раза. Значит, КПД гидрогенератора станет \[\eta^* = \frac{3 I U_0 t}{2 m g h} = 1{,}5\,\eta.\]

Подумайте, что не меняется при увеличении расхода воды: сколько теплоты подшипник отдаёт воде в единицу времени.

\(t_{\text{кон}}/t_{\text{нач}} = 1{,}5\).

Количество теплоты, отдаваемое подшипником воде в единицу времени, во всех режимах одинаково, а расход воды пропорционален массе воды, прокачиваемой за единицу времени. Поэтому \[cm_1(t_{1,\text{кон}} - t_{\text{нач}}) = cm_2(t_{2,\text{кон}} - t_{\text{нач}}),\] где \(c\) — теплоёмкость воды, \(t_{1,\text{кон}}\) и \(t_{2,\text{кон}}\) — температуры воды на выходе из подшипника в первом и втором режимах, \(t_{\text{нач}}\) — температура на входе. Так как \(m_2 = 2m_1\), отсюда \(t_{1,\text{кон}} - t_{\text{нач}} = 2(t_{2,\text{кон}} - t_{\text{нач}})\). В первом режиме \(t_{1,\text{кон}} = 2t_{\text{нач}}\), поэтому \(t_{\text{нач}} = 2t_{2,\text{кон}} - 2t_{\text{нач}}\), откуда \(\dfrac{t_{2,\text{кон}}}{t_{\text{нач}}} = 1{,}5\).

Одинаковые массы при упругих ударах обмениваются скоростями, поэтому можно считать, что вагоны проходят друг сквозь друга. Что произойдёт с траекторией при отражении от упора, если это похоже на зеркало?

Расстояния от тупикового упора до вагонов: \(300\), \(700\), \(800\), \(900\), \(1500\) м. Скорости вагонов: \(9\) км/ч; \(21{,}6\) км/ч; \(28{,}8\) км/ч; \(32{,}4\) км/ч; \(54\) км/ч.

Построим графики движения всех вагонов на диаграмме «время — координата» (\(t\)–\(x\)). Между столкновениями графики каждого вагона — прямые линии (движение равномерное). При столкновении происходит обмен скоростями, поэтому графики после столкновения продолжают те же прямые линии, меняется лишь то, какой вагон движется по какой линии. Когда линия достигает координаты пружинного упора, она отражается от вертикали так, что угол падения равен углу отражения, поскольку модуль скорости сохраняется. Если продолжить отражённые линии в «зазеркалье» за упор, они продолжат первоначальные прямые (ситуация полностью аналогична отражению от плоского зеркала). При такой замене теряется лишь одно пересечение исходных линий (столкновение вагонов), но если обеспечить на финише такую же последовательность вагонов, как и на старте (реальные вагоны не могут проходить друг сквозь друга), то каждая пара линий, соответствующая паре вагонов, имеет пересечение, как показано на рисунке.

Самая пологая линия на графике соответствует последнему вагону, скорость движения которого максимальна. По ней определяем время движения: \[T = \frac{2x_N}{V_N} = \frac{2 \cdot 1500}{15} = 200~\text{с}.\] По формуле \(\Delta_n = V_n T - x_n\) рассчитываем конечные координаты вагонов, где \(\Delta_n\) — расстояние от упора. Получаем \(300\), \(700\), \(800\), \(900\) и \(1500\) м. Скорости вагонов останутся прежними, поскольку происходит последовательность абсолютно упругих соударений.