«Надежда энергетики», 2019/20, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для поршня отдельно для случая, когда давление газа больше атмосферного, и для случая, когда оно меньше. Что происходит с грузом, который лежит на поршне, во втором случае?

Решение

Если давление газа в начальный момент больше атмосферного, то ускорение поршня меньше ускорения свободного падения: \[a_1 = \frac{mg - (p_{\text{газа}} - p_{\text{атм}})S}{m},\] где \(S\) — сечение сосуда. Ускорение может быть направлено как вниз, так и вверх. Если добавить груз, то \[a_2 = g - \frac{(p_{\text{газа}} - p_{\text{атм}})S}{m + M},\] где \(M\) — масса груза. Очевидно, что ускорения различны.

Если давление газа в начальный момент меньше атмосферного, то ускорение поршня больше ускорения свободного падения: \[a_3 = g + \frac{(p_{\text{атм}} - p_{\text{газа}})S}{m}.\] Если в этом случае на поршне находился груз, то груз, который под действием силы тяжести движется с ускорением свободного падения, отстаёт от поршня, и ускорение поршня не изменяется.

Подсказка

Выразите мощность, которую отдаёт гидрогенератор, через расход воды: какую энергию в секунду приносит поток, и как эта энергия связана со скоростью воды?

Ответ

\(1{,}44\) раза.

Решение

По закону сохранения механической энергии потенциальная энергия воды в водохранилище преобразуется в кинетическую энергию водяного потока, попадающего на лопасти гидротурбины: \[mgh = \frac{mv^2}{2}.\] Расход воды через гидрогенератор запишем в виде \[Q = \frac{V}{t} = Sv,\] где \(S\) — площадь сечения водоводов, \(V\) — объём воды, проходящей через турбину за время \(t\). Мощность, выдаваемая гидрогенератором в электрическую сеть, равна \[P = \eta\frac{mgh}{t},\] где \(\eta\) — КПД гидрогенератора. Подставляя первое соотношение, а затем второе в третье, с учётом \(m = \rho V\) получаем мощность, выраженную через расход воды: \[P = \eta\frac{mgh}{t} = \eta\frac{mv^2}{2t} = \eta\frac{\rho V v^2}{2t} = \frac{\eta\rho Q^3}{2S^2}.\] Таким образом, расход воды через гидрогенераторы ГЭС пропорционален корню кубическому из потребляемой мощности: \(Q \sim \sqrt[3]{P}\). Отсюда при увеличении энергопотребления в \(3\) раза расход воды нужно увеличить в \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44\) раза.

Подсказка

Какие точки шарика касаются неподвижного внешнего кольца и внутреннего кольца, и чему равны их скорости при качении без проскальзывания? Сравните скорость центра шарика с линейной скоростью точек внутреннего кольца.

Ответ

\(0{,}4\) оборота.

Решение

Введём обозначения: \(\Omega\) — угловая скорость вращения оси станка, \(v\) — линейная скорость центра шарика, \(\omega_1\) — угловая скорость движения центра шарика вокруг оси станка. Так как качение происходит без проскальзывания, мгновенная скорость точки \(B\) (касания с внешним кольцом) равна нулю, а мгновенная скорость точки \(A\) (касания с внутренним кольцом) в две раза больше линейной скорости центра шарика \(C\) и равна линейной скорости точек поверхности внутреннего кольца. Тогда \[2v = \Omega R.\] Линейная скорость центра шарика \(C\) равна \(v = \omega_1(R + r)\), поэтому \[2\omega_1(R + r) = \Omega R.\] Периоды обращения внутреннего кольца и шарика относительно оси \(O\): \(T = \dfrac{2\pi}{\Omega}\), \(T_{\text{ш}} = \dfrac{2\pi}{\omega_1}\). Число оборотов шарика за время одного оборота кольца: \[N = \frac{T}{T_{\text{ш}}} = \frac{\omega_1}{\Omega} = \frac{R}{2(R + r)} = \frac{4}{2(4 + 1)} = 0{,}4 \text{ оборота}.\]

Подсказка

Какую систему удобно рассмотреть — человека и плот вместе? Чему равен импульс силы сопротивления за всё время движения, если выразить его через перемещение плота?

Ответ

\(1{,}5\) м/с.

Решение

В системе отсчёта, связанной с берегом, пусть \(t\) — время движения человека. Импульс силы сопротивления за это время равен \[\int_0^t \alpha V\,dt = \alpha x.\] Относительно берега человек смещается на \(l - x\), а плот на \(x\) в противоположную сторону. Поэтому \[\alpha x = m\frac{l - x}{t} - M\frac{x}{t}\quad\Rightarrow\quad t = \frac{m(l - x) - Mx}{\alpha x} = \frac{60\cdot(6{,}2 - 0{,}2) - 600\cdot 0{,}2}{300\cdot 0{,}2} = 4~\text{с}.\] Тогда скорость плота относительно берега \(V = \dfrac{x}{t} = 0{,}05\) м/с, а скорость человека относительно плота \(v = \dfrac{l}{t} = 1{,}55\) м/с. По закону сложения скоростей скорость человека относительно берега равна \(v - V = 1{,}5\) м/с.

Подсказка

Дополните данную полусферу такой же полусферой так, чтобы получилась полная сфера. Как зависит потенциал однородно заряженной сферы от расстояния до её центра вне сферы?

Ответ

\(61{,}8\) В.

Решение

Обозначим исходную полусферу индексом \(I\) и дополним её такой же полусферой \(II\). По принципу суперпозиции \(\varphi_\Sigma = \varphi_I + \varphi_{II}\). Тогда потенциалы точек \(O\), \(C\), \(D\) в поле полной сферы:

1. \(\varphi_{O\Sigma} = \varphi_{OI} + \varphi_{OII} = 100 + 100 = 200\) В;

2. \(\varphi_{C\Sigma} = \varphi_{O\Sigma} = 200\) В (потенциал всех точек полной сферы одинаков);

3. поскольку потенциал поля сферы \(\varphi \sim \dfrac{1}{r}\), то \(\varphi_{D\Sigma} = \dfrac{1}{2}\varphi_{C\Sigma} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(2R)\);

4. поскольку \(\varphi_{D\Sigma} = \varphi_{DI} + \varphi_{DII} = \varphi_{A\Sigma} = \varphi_{AI} + \varphi_{AII} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(-2R)\), то \(\varphi_{AII} = \varphi_{A\Sigma} - \varphi_{AI} = 100 - 38{,}2 = 61{,}8\) В;

5. положение точки \(A\) в поле полусферы \(II\) эквивалентно положению точки \(D\) в поле полусферы \(I\), поэтому \(\varphi_{DI} = \varphi_{AII} = 61{,}8\) В.

Ответ: потенциал в точке на оси \(OX\) с координатой \(x = 2R\) равен \(61{,}8\) В.