«Надежда энергетики», 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Что происходит с пузырьками воздуха и пара в воде до закипания и в момент кипения? Сравните давление насыщенного пара с атмосферным и подумайте, от чего зависит частота и однородность звука, который излучает быстро меняющийся пузырёк.

Решение

При температуре воды около 90 градусов начинает появляться характерный шелест (возможно свист, но не однотонный, а шумоподобный). Этот звук возникает ещё до закипания: в небольшие пузырьки воздуха, растворённого в воде, начинает поступать всё больше пара, поскольку плотность водяных паров быстро растёт с температурой. Давление пара при этом ещё меньше атмосферного, и размеры пузырьков быстро меняются. Можно объяснить это из МКТ конкуренцией случайных процессов перехода молекул воды из жидкости в пар и обратно. Быстрые изменения размеров пузырька приводят к излучению звуковых волн с длиной волны, соизмеримой с размером пузырька. Пока пузырьки маленькие, звук высокочастотный; поскольку их размеры меняются, звук не однотонный, а шумоподобный. Может быть описано и схлопывание отдельных пузырьков, упомянута кавитация — это близкие явления. Звук становится всё сильнее с ростом температуры.

Когда температура достигает \(100\) градусов Цельсия (или локальной температуры кипения воды), давление паров воды сравнивается с атмосферным, и пузырьки начинают неограниченно расти, сливаться и всплывать. Это приводит к характерному «бурлению» кипящей воды: тембр становится более низкочастотным и более шумоподобным, флуктуации громкости становятся различимы на слух. Громкость звука с началом кипения заметно падает — как из-за уменьшения эффективности генерации звука с ростом размера пузырей, так и из-за уменьшения их количества.

Подсказка

Какие точки шарика касаются неподвижного внешнего кольца и внутреннего кольца, и чему равны их скорости при качении без проскальзывания? Сравните скорость центра шарика с линейной скоростью точек внутреннего кольца.

Ответ

\(0{,}4\) оборота.

Решение

Введём обозначения: \(\Omega\) — угловая скорость вращения оси станка, \(v\) — линейная скорость центра шарика, \(\omega_1\) — угловая скорость движения центра шарика вокруг оси станка, \(T\) — период вращения оси станка. Так как качение происходит без проскальзывания, мгновенная скорость точки \(B\) (касания с внешним кольцом) равна нулю, а мгновенная скорость точки \(A\) (касания с внутренним кольцом) в две раза больше линейной скорости центра шарика \(C\) и равна линейной скорости точек поверхности внутреннего кольца. Тогда \[2v = \Omega R.\] Линейная скорость центра шарика \(C\) равна \(v = \omega_1(R + r)\), поэтому \[2\omega_1(R + r) = \Omega R.\] Периоды обращения внутреннего кольца и шарика относительно оси \(O\): \(T = \dfrac{2\pi}{\Omega}\), \(T_{\text{ш}} = \dfrac{2\pi}{\omega_1}\). Число оборотов шарика за время одного оборота кольца: \[N = \frac{T}{T_{\text{ш}}} = \frac{\omega_1}{\Omega} = \frac{R}{2(R + r)} = \frac{4}{2(4 + 1)} = 0{,}4 \text{ оборота}.\]

Подсказка

Какую работу совершает вихревое электрическое поле над одним ядром за один оборот? Выразите силу тока через скорость ядер и радиус орбиты, а затем свяжите изменение кинетической энергии с изменением скорости.

Ответ

\(I = \sqrt{I_0^2 + \dfrac{N^2 q^3 A}{2\pi m}}\).

Решение

Изменение кинетической энергии частиц пучка происходит в результате работы сторонних сил (явление электромагнитной индукции): модуль ЭДС индукции равен скорости изменения магнитного потока через орбиту, то есть скорости изменения магнитной индукции \(A\), умноженной на площадь орбиты \(\pi R^2\). За один оборот \[q\frac{d\Phi}{dt} = qS\frac{dB}{dt} = qA\pi R^2 = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}, \qquad\text{откуда}\qquad v^2 - v_0^2 = \frac{2qA\pi R^2}{m}.\] Сила тока пучка определяется как \[I = \frac{qN}{T} = \frac{qN}{2\pi R/v} = \frac{qNv}{2\pi R}, \qquad I_0 = \frac{qNv_0}{2\pi R}.\] Отсюда \(v = \dfrac{2\pi R I}{qN}\) и \(v_0 = \dfrac{2\pi R I_0}{qN}\). Подставляя в предыдущее соотношение, \[\frac{4\pi^2R^2}{q^2N^2}\left(I^2 - I_0^2\right) = \frac{2qA\pi R^2}{m},\] то есть \[I = \sqrt{I_0^2 + \frac{N^2 q^3 A}{2\pi m}}.\]

Подсказка

Дополните данную полусферу такой же полусферой так, чтобы получилась полная сфера, и используйте принцип суперпозиции. Как потенциал однородно заряженной сферы меняется с расстоянием до её центра вне сферы?

Ответ

\(61{,}8\) В.

Решение

Обозначим исходную полусферу индексом \(I\) и дополним её такой же полусферой \(II\). По принципу суперпозиции \(\varphi_\Sigma = \varphi_I + \varphi_{II}\). Тогда потенциалы точек \(O\), \(C\), \(D\) в поле полной сферы:

1. \(\varphi_{O\Sigma} = \varphi_{OI} + \varphi_{OII} = 100 + 100 = 200\) В;

2. \(\varphi_{C\Sigma} = \varphi_{O\Sigma} = 200\) В (потенциал всех точек полной сферы одинаков);

3. поскольку потенциал поля сферы \(\varphi \sim \dfrac{1}{r}\), то \(\varphi_{D\Sigma} = \dfrac{1}{2}\varphi_{C\Sigma} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(2R)\);

4. поскольку \(\varphi_{D\Sigma} = \varphi_{DI} + \varphi_{DII} = \varphi_{A\Sigma} = \varphi_{AI} + \varphi_{AII} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(-2R)\), то \(\varphi_{AII} = \varphi_{A\Sigma} - \varphi_{AI} = 100 - 38{,}2 = 61{,}8\) В;

5. положение точки \(A\) в поле полусферы \(II\) эквивалентно положению точки \(D\) в поле полусферы \(I\), поэтому \(\varphi_{DI} = \varphi_{AII} = 61{,}8\) В.

Ответ: потенциал в точке на оси \(OX\) с координатой \(x = 2R\) равен \(61{,}8\) В.

Подсказка

Какая энергия подводится к крану из сети за время разгона и за время равномерного подъёма? Как по графику найти энергию, которую забирает двигатель, — что означает площадь под кривой \(I(t)\) при напряжении \(U\)?

Ответ

\(v \approx 0{,}39\) м/с.

Решение

1. Потреблённая двигателем из сети электроэнергия с учётом КПД идёт на сообщение затвору кинетической и потенциальной энергии, а также на работу против сил трения. Первый участок графика (от \(0\) до \(5\) с) соответствует набору затвором некоторой скорости. На втором участке затвор движется равномерно с этой скоростью.

2. Энергия, затрачиваемая двигателем на подъём затвора, равна произведению площади под графиком на напряжение и КПД. Площадь под прямой \(AB\) умноженная на напряжение и КПД равна сумме кинетической энергии, приобретённой затвором, потенциальной энергии и работе против сил трения: \[\frac{1}{2}(I_1 - I_2)\,t_0\,U\eta = \frac{mv^2}{2} + W_{\text{пот}} + A_{\text{тр}},\] где \(I_1 = 100\) А, \(I_2 = 80\) А, \(t_0 = 5\) с. Наклон прямых присутствует из-за того, что при подъёме затвора уменьшается сила трения о направляющие пазы: сила давления воды также уменьшается, и затвор постепенно поднимается из воды.

   Продолжим прямую на интервале \(5\)–\(12\) с до пересечения с вертикальной осью (прямая \(CB\)). Если бы в момент времени \(t = 0\) затвор уже двигался с установившейся скоростью, то площадь под прямой \(CB\) на интервале \(0\)–\(5\) с, умноженная на напряжение и КПД, была бы равна \[\frac{1}{2}(I_3 - I_2)\,t_0\,U\eta = W_{\text{пот}} + A_{\text{тр}},\] где \(I_3 = 90\) А — точка пересечения прямой \(CB\) с вертикальной осью.

3. Кинетическая энергия, которую приобретает затвор: \[\frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2}(I_1 - I_2)\,t_0\,U\eta - \frac{1}{2}(I_3 - I_2)\,t_0\,U\eta,\] откуда \(mv^2 = (I_1 - I_3)\,t_0\,U\eta\) и \[v = \sqrt{\frac{(I_1 - I_3)\,t_0\,U\eta}{m}} = \sqrt{\frac{10\cdot 5\cdot 380\cdot 0{,}8}{10^5}} \approx 0{,}39~\text{м/с}.\]