«Надежда энергетики», 2019/20, заключительный этап, 8 класс

Запишите второй закон Ньютона для поршня до и после того, как на него положили груз. Сравните, как меняется сила давления газа на поршень, если давление газа больше атмосферного и если меньше.

Если давление газа в начальный момент больше атмосферного, ускорение поршня меняется при добавлении груза; если меньше атмосферного, то ускорение поршня не меняется.

Если давление газа в начальный момент больше атмосферного, то ускорение поршня меньше ускорения свободного падения: \[a_1 = \frac{mg - (p_{\text{газа}} - p_{\text{атм}})S}{m},\] где \(S\) — сечение сосуда. Ускорение может быть направлено как вниз, так и вверх. Если добавить груз, то \[a_2 = g - \frac{(p_{\text{газа}} - p_{\text{атм}})S}{m + M},\] где \(M\) — масса груза. Очевидно, что ускорения различны.

Если давление газа в начальный момент меньше атмосферного, то ускорение поршня больше ускорения свободного падения: \[a_3 = g + \frac{(p_{\text{атм}} - p_{\text{газа}})S}{m}.\] Если в этом случае на поршне находился груз, то груз, который под действием силы тяжести движется с ускорением свободного падения, отстаёт от поршня и ускорение поршня не изменяется.

Потери энергии в генераторе — это тепло, которое уносит вода. Сколько тепла уносит поток воды за секунду, если он нагревается на \(t_2 - t_1\)?

\(W \approx 163\) м\(^3\)/час.

Мощность, выделяющаяся в обмотках гидрогенератора, равна \[P_{\text{потери}} = (1 - \eta)P = \frac{Q}{t} = \frac{cm(t_2 - t_1)}{t} = \frac{c\rho V(t_2 - t_1)}{t} = c\rho W(t_2 - t_1),\] где \(Q\) — количество теплоты, отобранное охлаждающей водой у обмоток генератора, а расход \(W = V/t\). Следовательно, расход воды равен \[W = \frac{(1 - \eta)P}{c\rho(t_2 - t_1)} = \frac{0{,}011 \cdot 5 \cdot 10^8}{4200 \cdot 1000 \cdot 29} \approx 163~\text{м}^3/\text{час}.\]

Выразите все пути через \(S_3\), а все скорости через \(v_3\). Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время движения.

\(v_3 \approx 60\) км/час.

Пусть \(S = S_1 + S_2 + S_3 = S_3(k^2 + k + 1) \equiv \gamma S_3\). Тогда \(S_1 = k^2 S_3\), \(S_2 = k S_3\), \(v_2 = v_3/k\), \(v_1 = v_3/k^2\), и время движения \[t = \frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} + \frac{S_3}{v_3} = \frac{S_3}{v_3}\,(k^4 + k^2 + 1).\] Средняя скорость \[v = \frac{S}{t} = \frac{\gamma v_3}{k^4 + k^2 + 1},\] откуда \[v_3 = v\,\frac{k^4 + k^2 + 1}{k^2 + k + 1} = 35\cdot\frac{5 + 2{,}25 + 1}{2{,}25 + 1{,}5 + 1} = \frac{35\cdot 8{,}25}{4{,}75} \approx 60~\text{км/час}.\]

Запишите условие плавания в момент начала погружения: сила Архимеда уравновешивает вес чашки и воды в ней. Какой объём чашки при этом вытесняет воду?

\(\rho_\text{ч} = \dfrac{m\rho_\text{в}}{m - \rho_\text{в}(V_0 - V_\text{в})} \approx 2000\) кг/м\(^3\).

Обозначим: \(V_\text{ч}\) — объём материала чашки, \(V_\text{в}\) — объём налитой в чашку воды в момент начала погружения, \(V_0\) — объём полости чашки. Тогда \[m_\text{ч} = \rho_\text{ч} V_\text{ч}, \qquad m_\text{в} = \rho_\text{в} V_\text{в}.\] Условие плавания непосредственно перед началом погружения: \[\rho_\text{в}(V_\text{ч} + V_0)\,g = (m_\text{в} + m_\text{ч})\,g.\] Отсюда \[\frac{m}{\rho_\text{ч}} + V_0 = \frac{m}{\rho_\text{в}} + V_\text{в} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{ч} = \frac{m\rho_\text{в}}{m - \rho_\text{в}(V_0 - V_\text{в})} = \frac{0{,}4\cdot 10^3}{0{,}4 - 10^3\,(0{,}6 - 0{,}4)\cdot 10^{-3}} = 2000~\text{кг/м}^3.\]

Нарисуйте два пучка: падающий на квадрат и отражённый от зеркала. Что происходит с размерами каждого пучка в вертикальном направлении при отражении?

\(S_\text{т} = 2\cdot 8\cdot 8 = 128\) см\(^2\).

Как видно из рисунка, квадрат отбрасывает тень как в падающем на него пучке, ограниченном лучами 1 и 2, так и в отражённом от зеркала пучке, ограниченном лучами 2\('\) и 3\('\). Поскольку при падении любого луча на зеркало угол падения \(\alpha\) равен углу отражения \(\alpha'\), размеры каждого пучка в вертикальном направлении остаются неизменными. Не изменит своей длины в отбрасываемой квадратом тени и его сторона, лежащая в плоскости стола. Следовательно, тень квадрата будет представлять собой два примыкающих друг к другу квадрата, а суммарная площадь тени равна \(S_\text{т} = 2\cdot 8\cdot 8 = 128\) см\(^2\).