«Надежда энергетики», 2019/20, заключительный этап, 9 класс

Запишите второй закон Ньютона для поршня до и после того, как на него положили груз. Сравните, как меняется сила давления газа на поршень, если давление газа больше атмосферного и если меньше.

Если давление газа в начальный момент больше атмосферного, ускорение поршня меняется при добавлении груза; если меньше атмосферного, то ускорение поршня не меняется.

Если давление газа в начальный момент больше атмосферного, то ускорение поршня меньше ускорения свободного падения: \[a_1 = \frac{mg - (p_{\text{газа}} - p_{\text{атм}})S}{m},\] где \(S\) — сечение сосуда. Ускорение может быть направлено как вниз, так и вверх. Если добавить груз, то \[a_2 = g - \frac{(p_{\text{газа}} - p_{\text{атм}})S}{m + M},\] где \(M\) — масса груза. Очевидно, что ускорения различны.

Если давление газа в начальный момент меньше атмосферного, то ускорение поршня больше ускорения свободного падения: \[a_3 = g + \frac{(p_{\text{атм}} - p_{\text{газа}})S}{m}.\] Если в этом случае на поршне находился груз, то груз, который под действием силы тяжести движется с ускорением свободного падения, отстаёт от поршня и ускорение поршня не изменяется.

Ток в линии выражается через мощность и напряжение. Как сопротивление линии зависит от числа проводов и от сечения одного провода?

В \(1{,}45\) раза.

Натуральная мощность — полезная мощность, прошедшая через ЛЭП к потребителю: \[P = IU,\] где \(I\) — сила тока в линии. Потери определяются законом Джоуля–Ленца: \[P_\text{пот} = I^2 R = I^2\,\frac{\rho L}{N S},\] где \(L\) — длина линии, \(N\) — количество параллельных проводников, \(S\) — площадь сечения одного проводника. Выражая силу тока из первого равенства и подставляя во второе, получаем \[P_\text{пот} = \left(\frac{P}{U}\right)^2 \frac{\rho L}{N S}.\] Таким образом, отношение потерь в линиях равно \[\frac{P_\text{пот2}}{P_\text{пот1}} = \left(\frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{U_1}{U_2}\right)^2 \frac{N_1}{N_2} = \left(\frac{2100\cdot 500}{900\cdot 750}\right)^2\cdot\frac{3}{5} = \left(\frac{14}{9}\right)^2\cdot\frac{3}{5} \approx 1{,}45.\]

Запишите условие плавания в момент начала погружения: сила Архимеда уравновешивает вес чашки и налитой воды. Какой объём чашки при этом вытесняет воду?

\(\rho_\text{ч} = \dfrac{m\rho_\text{в}}{m - \rho_\text{в}(V_0 - V_\text{в})} \approx 2000\) кг/м\(^3\).

Обозначим: \(V_\text{ч}\) — объём материала чашки, \(V_\text{в}\) — объём налитой в чашку воды в момент начала погружения, \(V_0\) — объём полости чашки. Тогда \[m_\text{ч} = \rho_\text{ч} V_\text{ч}, \qquad m_\text{в} = \rho_\text{в} V_\text{в}.\] Условие плавания непосредственно перед началом погружения: \[\rho_\text{в}(V_\text{ч} + V_0)\,g = (m_\text{в} + m_\text{ч})\,g.\] Отсюда \[\frac{m}{\rho_\text{ч}} + V_0 = \frac{m}{\rho_\text{в}} + V_\text{в} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{ч} = \frac{m\rho_\text{в}}{m - \rho_\text{в}(V_0 - V_\text{в})} = \frac{0{,}4\cdot 10^3}{0{,}4 - 10^3\,(0{,}6 - 0{,}4)\cdot 10^{-3}} = 2000~\text{кг/м}^3.\]

Нарисуйте два пучка: падающий на квадрат и отражённый от зеркала. Что происходит с размерами каждого пучка в вертикальном направлении при отражении?

\(S_\text{т} = 2\cdot 9\cdot 9 = 162\) см\(^2\).

Как видно из рисунка, квадрат отбрасывает тень как в падающем на него пучке, ограниченном лучами 1 и 2, так и в отражённом от зеркала пучке, ограниченном лучами 2\('\) и 3\('\). Поскольку при падении любого луча на зеркало угол падения \(\alpha\) равен углу отражения \(\alpha'\), размеры каждого пучка в вертикальном направлении остаются неизменными. Не изменит своей длины в отбрасываемой квадратом тени и его сторона, лежащая в плоскости стола. Следовательно, тень квадрата будет представлять собой два примыкающих друг к другу квадрата, а суммарная площадь тени равна \(S_\text{т} = 2\cdot 9\cdot 9 = 162\) см\(^2\).

Какие точки шарика, касающиеся колец, покоятся, а какие движутся? Свяжите скорость центра шарика с его угловой скоростью вокруг оси станка.

\(N = \dfrac{R}{2(R+r)} = 0{,}4\) оборота.

Введём обозначения: \(\Omega\) — угловая скорость вращения оси станка, \(v\) — линейная скорость движения центра шарика, \(\omega_1\) — угловая скорость движения центра шарика вокруг оси станка.

Так как качение происходит без проскальзывания, то мгновенная скорость точки \(B\) равна нулю, а мгновенная скорость точки \(A\) в две раза больше линейной скорости центра шарика \(C\) и равна линейной скорости точек поверхности внутреннего кольца. Тогда \[2v = \Omega R.\] Линейную скорость центра шарика \(C\) можно записать как \(v = \omega_1(R + r)\). Тогда \[2\omega_1(R + r) = \Omega R.\] Периоды обращения внутреннего кольца и шарика относительно оси \(O\): \(T = \dfrac{2\pi}{\Omega}\), \(T_\text{ш} = \dfrac{2\pi}{\omega_1}\). Число оборотов шарика за время одного оборота кольца \[N = \frac{T}{T_\text{ш}} = \frac{\omega_1}{\Omega} = \frac{R}{2(R + r)} = \frac{4}{2(4 + 1)} = 0{,}4~\text{оборота}.\]