«Надежда энергетики», 2022/23, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Какие моменты сил действуют на стержни, если их центры масс не лежат на одной вертикали? Что тогда следует о направлении стержней?

Решение

Центры масс стержней должны лежать на одной вертикали, иначе на систему будут действовать нескомпенсированные моменты сил тяжести и реакции подвеса.

Допустим сначала, что нити не вертикальны. Поскольку центры стержней лежат на одной вертикали, горизонтальные проекции нитей одинаковы. Для нижнего стержня горизонтальная сумма сил равна нулю, только если горизонтальные проекции натяжений нитей одинаковы; тогда натяжения пропорциональны длинам нитей. Момент сил относительно центра нижнего стержня равен нулю, только если нормальные к стержню проекции натяжений нитей одинаковы; тогда стержни параллельны. Значит, стержни являются основаниями трапеции.

Однако длины стержней и нитей могут быть таковы, что трапеция, в которой основаниями служат стержни, невозможна (например, стержни одинаковой длины, а нити разной). В этом случае исходное допущение неверно, и нити вертикальны. Тогда горизонтальная сумма сил на нижний стержень равна нулю автоматически, а из равенства нулю момента следует, что силы натяжения нитей равны. Основаниями трапеции в этом случае являются нити.

Итак, в подвешенном состоянии фигура является трапецией. Отметим, что любой четырёхугольник можно без изменения длин сторон деформировать в трапецию, в которой основаниями будет либо одна пара противоположных сторон, либо другая.

Подсказка

Сила тяги удерживает человека в воздухе и по третьему закону Ньютона сообщает импульс выбрасываемой воде. Сравните за одно и то же время импульс и кинетическую энергию воды.

Ответ

\(P = \dfrac{Mgv}{2}\).

Решение

Флайборд висит благодаря силе тяги \(F = Mg\). По третьему закону Ньютона такая же сила ускоряет выбрасываемую воду. Пусть за время \(\Delta t\) ускоряется масса воды \(\Delta m\). Тогда \(F\,\Delta t = \Delta m\, v\).

Пусть мощность двигателя равна \(P\). За то же время двигатель тратит энергию на сообщение воде кинетической энергии: \(P\,\Delta t = \dfrac{\Delta m\, v^2}{2}\).

Деля второе уравнение на первое, получаем \(\dfrac{P}{F} = \dfrac{v}{2}\), откуда \(P = \dfrac{Fv}{2} = \dfrac{Mgv}{2}\).

Подсказка

Как меняется положение центра масс при удалении тонкого слоя жидкости, если уровень жидкости выше центра масс и если ниже? Запишите высоту центра масс как функцию уровня кваса \(h\).

Ответ

Центр масс занимает самое низкое положение, когда уровень кваса опустился до \(h = 5\) см; эта минимальная высота центра масс равна \(5\) см.

Решение

В начальный момент центр масс банки с квасом находится в центре банки, но там же он находится и у пустой банки. Во время отхлёбывания центр масс опускается, пока уровень кваса выше центра масс: удаление тонкого слоя жидкости понижает центр масс. Когда уровень опустится ниже центра масс, удаление слоя его поднимает. Значит, минимум достигается, когда центр масс находится на уровне кваса.

Пусть высота банки равна \(H\), масса кваса \(m\), масса банки \(M\). Если уровень жидкости находится на высоте \(h\), то её масса равна \(mh/H\), а высота центра масс банки с квасом \[y_c = \frac{MH/2 + (mh/H)\cdot h/2}{M + mh/H}.\] Приравнивая \(y_c = h\), получаем квадратное уравнение \(mh^2 + 2MHh - MH^2 = 0\). Его корни имеют разные знаки, нужен положительный: \[h = \frac{H}{1 + \sqrt{1 + m/M}}.\] При \(H = 20\) см и \(m/M = 400/50 = 8\) получаем \(h = \dfrac{20}{1 + 3} = 5\) см.

Подсказка

Запишите закон сохранения напряжения в цепи (сумма падений напряжений равна ЭДС) до и после подключения резистора и учтите, как изменились падения напряжения на приборах.

Ответ

\(U_2 = \dfrac{2\mathcal E}{3} = 4\) В.

Решение

Обозначим начальное падение напряжения на амперметре \(U_1\), а на вольтметре \(U_2\) (это и нужно найти). По условию \(U_1 + U_2 = \mathcal E\).

После подключения резистора ток через амперметр вырос вдвое, значит, падение напряжения на нём стало \(2U_1\). Падение напряжения на вольтметре, наоборот, уменьшилось вдвое и стало \(U_2/2\). Тогда \(2U_1 + \dfrac{U_2}{2} = \mathcal E\).

Исключая \(U_1\), находим \(U_2 = \dfrac{2\mathcal E}{3} = 4\) В.

Подсказка

Сколько сил удерживает плотину и под каким углом они направлены? Оцените давление воды по всей высоте плотины по его значению на дне и сравните силу давления с суммой реакций берегов.

Ответ

\(d \approx 50\) м (оценка толщины у основания плотины).

Решение

Для оценки давление воды считаем постоянным по всей высоте плотины и равным давлению на дне; так оценивается толщина у основания (на самом деле толщину делают уменьшающейся с высотой). Полная сила давления воды равна \(p\,hL\), где \(p = \rho g h\).

Эту силу уравновешивают две силы \(F\) реакции берегов, направленные вдоль дуги плотины и составляющие угол \(\pi/2 - \alpha/2\) с направлением течения. Сила давления на дугу равна силе давления на плоскую плотину, заделанную в тех же точках на берегах. Баланс сил: \[2F\sin\frac{\alpha}{2} = p\,hL.\] Напряжение в бетоне \(\sigma = F/(hd)\), где \(d\) — толщина плотины. Отсюда \[d = \frac{pL}{2\sigma\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\rho g h L}{2\sigma\sin\frac{\alpha}{2}}.\] Подставляя \(\rho g h L = 1000 \cdot 10 \cdot 50 \cdot 1000 = 5 \cdot 10^8\) Н и \(2\sigma\sin 30^{\circ} = 2 \cdot 10^7 \cdot 0{,}5 = 10^7\) Па, получаем \(d = 50\) м.