«Надежда энергетики», 2022/23, заключительный этап, 11 класс

Что происходит с зарядом пленки, если из неё непрерывно вылетают электроны? Как заряженная пленка действует на вылетающие электроны?

Регистрируемая энергия электронов уменьшается со временем, и всё быстрее.

Поскольку эмиссия электронов означает, что из пленки вылетают отрицательно заряженные частицы, то сама пленка в процессе эмиссии будет заряжаться положительно. Именно для нейтрализации образующегося положительного заряда плёнки необходимо заземление. При отсутствии заземления увеличивающийся положительный заряд пленки будет создавать вблизи неё электрическое поле, которое будет тормозить вылетающие электроны. В связи с этим при дальнейшем непрерывном облучении пленки рентгеновским излучением регистрируемая энергия электронов будет уменьшаться. Уменьшение регистрируемой энергии со временем будет всё сильнее, т.к. будет увеличиваться напряжённость тормозящего электрического поля.

Сколько частиц возникает при диссоциации каждой двухатомной молекулы? Запишите уравнение состояния для обеих температур и поделите одно на другое.

\(\dfrac{m_\text{N}}{m_\text{H}} = 7\).

Азот и водород — двухатомные газы, поэтому при диссоциации возникает вдвое больше частиц. Пусть количества недиссоциированных азота и водорода равны \(\nu_1\) и \(\nu_2\). Тогда при температуре \(T\) полное количество вещества равно \(2\nu_1 + \nu_2\), а при температуре \(2T\) — \(2\nu_1 + 2\nu_2\). Согласно уравнению Менделеева–Клапейрона \[pV = (2\nu_1 + \nu_2)RT, \qquad 3pV = (2\nu_1 + 2\nu_2)R\cdot 2T .\] Поделив одно уравнение на другое, находим отношение \(\dfrac{\nu_1}{\nu_2} = \dfrac{1}{2}\). Масса газа есть \(m = \nu M\), поэтому отношение масс \[\frac{m_\text{N}}{m_\text{H}} = \frac{\nu_1 M_2}{\nu_2 M_1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{0{,}028}{0{,}002} = 7 .\]

Минимальная начальная скорость соответствует обгону при минимальной относительной скорости бусинок. Какие законы сохранения выполняются в момент обгона, когда бусинки движутся с одинаковой скоростью?

\(v=\dfrac{q}{\sqrt{\pi\varepsilon_0 m a}}\).

Условие минимальности начальной скорости второй бусинки требует, чтобы обгон происходил с минимальной относительной скоростью бусинок. Поэтому положим скорость обеих бусинок в момент обгона равной \(u\). В момент обгона по ЗСИ и ЗСЭ имеем: \[\begin{cases} mv = 2mu, \\[2pt] \dfrac{mv^2}{2} = 2\cdot\dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{q^2}{a}, \\[6pt] \dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{mv^2}{4} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{q^2}{a}. \end{cases}\] Из последнего уравнения \(\dfrac{mv^2}{4} = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\), откуда \(v = \dfrac{q}{\sqrt{\pi\varepsilon_0 m a}}\).

Какая величина одинакова на всех расстояниях от точечного источника в идеальной среде? Через какую поверхность проходит вся энергия звука, излученная колоколом за время \(t\)?

\(P = 56\) Вт.

Интенсивность звука, соответствующая порогу слышимости, — это минимальная плотность потока энергии звуковой волны \(I_\text{min}\), воспринимаемая человеком. Обозначим \(W\) энергию, излученную колоколом за время \(t\), а \(R\) — расстояние от колокольни до учебного корпуса. Тогда, поскольку \[I_\text{min} = \frac{W}{St} = \frac{W}{4\pi R^2 t},\] то \[P = \frac{W}{t} = 4\pi R^2 I_\text{min} = 56~\text{Вт}.\]

Поток энергии в реке складывается из переноса кинетической и потенциальной энергии воды и работы сил давления. Как связаны скорости и глубины выше и ниже станции? По какому параметру нужно искать максимум?

\(W_\text{max} = \rho g h^2 v L\left(1 + \dfrac{F}{2} - \dfrac{3}{2}F^{1/3}\right)\), где \(F = \dfrac{v^2}{gh}\).

Теоретическая мощность электростанции (в пренебрежении потерь на трение в жидкости, в трансмиссии и не 100%-ом КПД генератора) равна разности потоков энергии в реке выше и ниже по течению. Поток энергии в реке складывается из двух частей. Первая представляет собой просто перенос кинетической и потенциальной энергии воды потоком и равна \(\left(\dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g\dfrac{h}{2}\right) v(hL)\). Вторая представляет собой работу сил давления воды в единицу времени \(\dfrac{\rho g h}{2}\, v(hL)\). Итого получаем \(\left(\dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h\right) v(hL)\). Временно обозначая величины выше по течению индексом 1, а ниже по течению — индексом 2, запишем теоретическую мощность \[W = \left(\frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1\right) v_1 (h_1 L) - \left(\frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2\right) v_2 (h_2 L).\] При этом, в силу несжимаемости воды, должно выполняться условие равенства потоков выше и ниже по течению \[\rho v_1 (h_1 L) = \rho v_2 (h_2 L).\] Таким образом, из двух характеристик потока ниже по течению, \(v_2\) и \(h_2\), только одна является независимой. Выражая, например, \(v_2\) через \(h_2\), получаем мощность \[W = \rho g h_1^2 v_1 L\left(1 + \frac{F_1}{2} - \left(\frac{F_1}{2}\,\frac{h_1^2}{h_2^2} + \frac{h_2}{h_1}\right)\right),\] где введено безразмерное отношение \(F_1 = \dfrac{v_1^2}{g h_1}\) — число Фруда, равное отношению кинетической и потенциальной энергий воды в верхнем течении. Мощность, как нетрудно убедиться, имеет максимум при \(h_2 = h_1 F_1^{1/3}\) (при этом число Фруда в нижнем течении \(F_2 = \dfrac{v_2^2}{g h_2} = 1\)). Таким образом, \[W_\text{max} = \rho g h_1^2 v_1 L\left(1 + \frac{F_1}{2} - \frac{3}{2}F_1^{1/3}\right), \quad \text{где } F_1 = \frac{v_1^2}{g h_1}.\]