зад 1 Шары на рычаге
На невесомом рычаге уравновешены стальные шары, имеющие различный объём. Нарушится ли равновесие, если шары опустить в воду? Объясните свои выводы.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните, на какую долю уменьшится вес каждого шара, если его полностью погрузить в воду. Одинаковы ли эти доли у шаров из одного материала?
▶ОтветСкрыть
Большой шар поднимется, а маленький — опустится.
▶РешениеСкрыть
Равновесие нарушится из-за действия силы Архимеда, которая пропорциональна объёму вытесненной жидкости. Поэтому больший шар поднимется, а меньший — опустится.
зад 2 Размер молекулы NaCl
Оцените размер молекулы NaCl, если плотность кристалла поваренной соли составляет \(2{,}17\) г/см\(^3\). Справка: \(6\cdot10^{23}\) молекул натрия имеют массу \(23\) г, а такое же количество молекул хлора имеют массу \(35\) г.
▶ПодсказкаСкрыть
Какой объём приходится на одну пару ионов Na и Cl в кристалле, если известна плотность соли? Как связать этот объём с размером молекулы?
▶ОтветСкрыть
\(a \approx 3{,}5\cdot10^{-8}\) см \(\approx 0{,}4\) нм.
▶РешениеСкрыть
Пусть размер молекулы порядка \(a\), тогда её объём порядка \(a^3\). Масса одной пары атомов натрия и хлора равна \(\dfrac{M_\text{Na}+M_\text{Cl}}{N_A}\), поэтому \[\rho N_A a^3 \sim M_\text{Na} + M_\text{Cl},\] \[a^3 \sim \frac{M_\text{Na}+M_\text{Cl}}{\rho N_A} = \frac{23+35}{2{,}17\cdot 6\cdot10^{23}}~\text{см}^3 = 45\cdot10^{-24}~\text{см}^3,\] откуда \(a \sim 3{,}5\cdot10^{-8}\) см \(\approx 0{,}4\) нм.
зад 3 Поршни и нить
Невесомые поршни вставлены в сосуд переменного сечения и связаны идеальной нитью. Площади поршней \(S_1\) и \(S_2\), длина нити \(L\). Между поршнями находится вода плотностью \(\rho\). Определите силу натяжения нити. Трением поршней о стенки сосуда пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия каждого невесомого поршня отдельно. Как связаны давления воды у верхнего и нижнего поршня?
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{\rho g L S_1 S_2}{S_1 - S_2}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть давления воды у верхнего и нижнего поршней равны \(p_1\) и \(p_2\) соответственно. На каждый поршень действуют сила давления воды и равная ей сила натяжения нити: \[p_1 S_1 = T, \qquad p_2 S_2 = T .\] Кроме того, давления связаны друг с другом гидростатическим соотношением \(p_2 = p_1 + \rho g L\). Отсюда \[\rho g L = \frac{T}{S_2} - \frac{T}{S_1}, \qquad T = \frac{\rho g L S_1 S_2}{S_1 - S_2}.\]
зад 4 Плотина Красноярской ГЭС
Плотина Красноярской ГЭС выполнена из железобетона и имеет массу \(20\) млн тонн. Бетон для постройки плотины замешивали из цемента, песка, щебня и воды в объемных отношениях \(1\!:\!2\!:\!4\!:\!1\). На каждый кубометр железобетона было использовано \(300\) кг железной арматуры. Определите, какая масса цемента пошла на сооружение плотины. Насыпные плотности цемента, песка и щебня принять равными \(1200\), \(1300\) и \(1300\) кг/м\(^3\) соответственно, плотность железа равна \(7800\) кг/м\(^3\). Считать, что цементный раствор полностью заполняет пустоты в насыпанном щебне так, что итоговый объем бетона определяется насыпным объемом щебня.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите среднюю плотность железобетона: из какого объёма бетона складывается \(1\) м\(^3\) железобетона? Затем найдите объём плотины и цемент, который приходится на долю щебня.
▶ОтветСкрыть
\(2{,}8\) млн т.
▶РешениеСкрыть
Поскольку даны объёмные доли компонентов в бетоне, нужно определить объём плотины. Для этого нужно определить среднюю плотность железобетона. Если смешать \(1\) м\(^3\) цемента, \(2\) м\(^3\) песка, \(4\) м\(^3\) щебня и \(1\) м\(^3\) воды, то получим \(4\) м\(^3\) бетона массой \[1\cdot1200 + 2\cdot1300 + 4\cdot1300 + 1\cdot1000 = 10000~\text{кг},\] то есть плотность бетона \(2500\) кг/м\(^3\). На \(1\) м\(^3\) железобетона приходится \(\dfrac{300}{7800}\) м\(^3\) арматуры и \(\dfrac{7500}{7800}\) м\(^3\) бетона, значит, средняя плотность железобетона равна \[\frac{300}{7800}\cdot7800 + \frac{7500}{7800}\cdot2500 = 2704~\text{кг/м}^3 .\] Значит, объём плотины \[\frac{20\cdot10^9}{2704}~\text{м}^3 = 7{,}4\cdot10^6~\text{м}^3 .\] Из них \(\dfrac{7500}{7800}\cdot7{,}4\cdot10^6 = 7{,}1\cdot10^6\) м\(^3\) приходятся на насыпной объём щебня, а на цемент — вчетверо меньше. Значит, всего на сооружение плотины пошло \[\frac{7{,}1\cdot10^6}{4}\cdot1200~\text{кг} = 2{,}8\cdot10^9~\text{кг} \ \text{или} \ 2{,}8~\text{млн т цемента}.\]
зад 5 Окопы гарнизона
Для организации обороны крепости гарнизон вырыл систему окопов. От центрального «штабного» блиндажа по радиальным направлениям расходятся траншеи, пронумерованные подряд по часовой стрелке, причём угол между соседними траншеями составляет \(30^\circ\). Каждую траншею обороняет отделение солдат (номер отделения соответствует номеру траншеи). Командир гарнизона направляет из штабного блиндажа посыльного с секретными пакетами для командиров каждого отделения. Посыльный, двигаясь по первой траншее, встречает командира первого отделения на расстоянии \(500\) м от центра. Передав пакет, он сообщает по рации командиру второго отделения, чтобы тот встречал следующий пакет. При этом оказывается, что командир второго отделения находится на том же расстоянии (\(500\) м) от центра и, чтобы быстрее получить пакет, он начинает идти в центр. Посыльный тоже возвращается к центру, чтобы попасть в траншею номер 2, затем двигается по ней от центра, встречает командира второго отделения и передаёт ему пакет. Теперь посыльный сообщает по рации командиру третьего отделения о начале своего движения к нему. Командир третьего отделения в этот момент в своей траншее удалён от центра на то же расстояние, что и посыльный в траншее № 2. Оба начинают одновременно двигаться к центру. Процесс передачи остальных пакетов происходит аналогично: посыльный в момент передачи пакета и командир следующего отделения находятся на одинаковых расстояниях от центра. Скорости передвижения всех командиров по траншеям одинаковы и в 8 раз меньше скорости бега посыльного. Какой путь пробежал посыльный, если встреча с последним командиром произошла в центре?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните время, которое командиры тратят на движение к центру, с временем, которое посыльный тратит на свои пробежки. Сколько всего командиров должно было пройти к центру?
▶ОтветСкрыть
\(4500\) м.
▶РешениеСкрыть
Командиры отделений 2, 3, 4 и т.д., двигаясь к центру, в общей сложности проходят расстояние \(500\) м. Поскольку скорость посыльного в 8 раз больше, то посыльный за это же время пробежал расстояние \(4000\) м. К этому расстоянию необходимо добавить \(500\) м, которые посыльный пробежал до момента встречи с командиром отделения 1.
Источник: Олимпиада «Надежда энергетики» по физике, 2022/23, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.