«Надежда энергетики», 2022/23, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Где должны находиться центры масс стержней? Что следует из равенства нулю момента сил, действующих на нижний стержень?

Решение

Очевидно, центры масс стержней должны находиться на одной вертикали, иначе на систему будут действовать нескомпенсированные моменты внешних сил тяжести и реакции подвеса.

Допустим сначала, что нити не вертикальны. Поскольку центры стержней находятся на одной вертикали, горизонтальные проекции нитей одинаковы (см. рисунок 1).

Рассмотрим равновесие нижнего стержня. Чтобы горизонтальная проекция суммы сил, действующих на стержень, равнялась нулю, силы натяжения нитей должны иметь одинаковые горизонтальные проекции, следовательно, величины сил натяжения должны быть пропорциональны длинам нитей.

Чтобы момент сил (относительно центра стержня), действующих на нижний стержень, равнялся нулю, нужно, чтобы нормальные к стержню проекции сил натяжения нитей были одинаковы, следовательно, стержни должны быть параллельны. Таким образом, они являются основаниями трапеции.

Однако длины стержней и нитей могут быть таковы, что трапеция, в которой основаниями были бы стержни, невозможна (например, длины стержней равны, а нитей — различны). В этом случае нужно отказаться от исходного допущения и считать, что нити вертикальны (см. рисунок 2).

Тогда горизонтальная проекция суммы сил, действующих на нижний стержень, равна нулю автоматически, а из равенства нулю момента сил следует, что силы натяжения нитей равны. В этом случае основаниями трапеции являются нити.

Отметим, что любой четырёхугольник можно без изменения длин сторон деформировать в трапецию, в которой основаниями будет либо одна пара противоположных сторон четырёхугольника, либо другая.

Подсказка

Какие части резистора оказываются включены в цепь в каждой схеме, когда движок находится в крайнем и в среднем положении?

Ответ

От \(0\) до \(1\) кОм.

Решение

При включении по первой схеме номинал резистора должен быть \(4\) кОм (нижний предел сопротивления — крайнее левое положение движка, верхний предел — крайнее правое). Если такой же резистор будет включён по второй схеме, то нижний предел регулирования сопротивления будет равен \(0\) (в крайнем левом или крайнем правом положениях движка), а верхний достигается при положении движка посередине. При этом две половины резистора по \(2\) кОм оказываются включены параллельно, поэтому верхний предел сопротивления будет \(1\) кОм.

Подсказка

Запишите условие равновесия каждого невесомого поршня отдельно. Как связаны давления воды у верхнего и нижнего поршня?

Ответ

\(T = \dfrac{\rho g L S_1 S_2}{S_1 - S_2}\).

Решение

Пусть давления воды у верхнего и нижнего поршней равны \(p_1\) и \(p_2\) соответственно. На каждый поршень действуют сила давления воды и равная ей сила натяжения нити: \[p_1 S_1 = T, \qquad p_2 S_2 = T .\] Кроме того, давления связаны друг с другом гидростатическим соотношением \(p_2 = p_1 + \rho g L\). Отсюда \[\rho g L = \frac{T}{S_2} - \frac{T}{S_1}, \qquad T = \frac{\rho g L S_1 S_2}{S_1 - S_2}.\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с теплоходом. Как направлена скорость катера относительно теплохода в момент наименьшего расстояния?

Ответ

\(60^\circ\) (также принимается ответ \(300^\circ\)).

Решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную с теплоходом. Теплоход всё время находится в точке \(A\). Катер был сначала замечен в точке \(B\), а затем в точке \(C\) (см. рис.). Поскольку расстояние \(AC\) минимально, то скорость катера относительно теплохода перпендикулярна \(AC\), причём \(\vec v_{21} = \vec v_2 - \vec v_1\). Её модуль \(v_{21} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2} = 21\) узел.

Так как \(AC \perp BC\), \(\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1{,}5}{3} = 0{,}5\), поэтому угол \(ABC = 30^\circ\). Поэтому курс корабля (угол \(BAC\)) равен \(60^\circ\) (также принимается ответ \(300^\circ\)).

Подсказка

Какая энергия сообщается воде насосом, если работой по подъёму уровня пренебречь? От чего зависит кинетическая энергия воды, перекачиваемой за единицу времени, при заданном объёме?

Ответ

В \(8\) раз.

Решение

Чтобы перекачивать вдвое больше воды в единицу времени, насосу нужно разгонять её до вдвое большей скорости. Таким образом, кинетическая энергия перекачанной в единицу времени воды увеличивается в восемь раз: удваивается за счёт удвоения её количества и увеличивается ещё в четыре раза за счёт удвоения её скорости. Значит, нужно в восемь раз увеличить мощность насоса.