«Надежда энергетики», 2022/23, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Какие силы и какие моменты сил действуют на нижний стержень в равновесии? Что следует из равенства нулю моментов относительно центра стержня?

Решение

Очевидно, центры масс стержней должны находиться на одной вертикали, иначе на систему будут действовать нескомпенсированные моменты внешних сил тяжести и реакции подвеса.

Допустим сначала, что нити не вертикальны. Поскольку центры стержней находятся на одной вертикали, горизонтальные проекции нитей одинаковы (см. рисунок 1).

Рассмотрим равновесие нижнего стержня. Чтобы горизонтальная проекция суммы сил, действующих на стержень, равнялась нулю, силы натяжения нитей должны иметь одинаковые горизонтальные проекции, следовательно, величины сил натяжения должны быть пропорциональны длинам нитей.

Чтобы момент сил (относительно центра стержня), действующих на нижний стержень, равнялся нулю, нужно, чтобы нормальные к стержню проекции сил натяжения нитей были одинаковы, следовательно, стержни должны быть параллельны. Таким образом, они являются основаниями трапеции.

Однако длины стержней и нитей могут быть таковы, что трапеция, в которой основаниями были бы стержни, невозможна (например, длины стержней равны, а нитей — различны). В этом случае нужно отказаться от исходного допущения и считать, что нити вертикальны (см. рисунок 2). Тогда горизонтальная проекция суммы сил, действующих на нижний стержень, равна нулю автоматически, а из равенства нулю момента сил следует, что силы натяжения нитей равны. В этом случае основаниями трапеции являются нити.

Отметим, что любой четырехугольник можно без изменения длин сторон деформировать в трапецию, в которой основаниями будет либо одна пара противоположных сторон четырехугольника, либо другая.

Подсказка

Рассмотрите крайние и среднее положения движка: какие части резистора оказываются закорочены, а какие включены параллельно?

Ответ

от \(0\) до \(1\) кОм.

Решение

При включении по первой схеме номинал резистора должен быть \(4\) кОм (нижний предел сопротивления — крайнее левое положение движка, верхний — крайнее правое). Если такой же резистор будет включен по второй схеме, то нижний предел регулирования сопротивления будет равен \(0\) (в крайнем левом или крайнем правом положениях движка), а верхний достигается при положении движка посередине. При этом две половины резистора по \(2\) кОм оказываются включены параллельно, поэтому верхний предел сопротивления будет \(1\) кОм.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с теплоходом. Как направлена скорость катера относительно теплохода в момент наименьшего расстояния между судами?

Ответ

\(60^\circ\) (принимается ответ \(300^\circ\)).

Решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную с теплоходом. Теплоход всё время находится в точке \(A\). Катер был сначала замечен в точке \(B\), а затем в точке \(C\) (см. рис.). Поскольку расстояние \(AC\) минимально, то скорость катера относительно теплохода перпендикулярна \(AC\), причём \(\vec v_{21} = \vec v_2 - \vec v_1\).

Так как \(AC \perp BC\), \(\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1{,}5}{3} = 0{,}5\), поэтому угол \(ABC = 30^\circ\). Поэтому курс корабля (угол \(BAC\)) равен \(60^\circ\) (также принимается ответ \(300^\circ\)).

Подсказка

Сила тяги уравновешивает вес. Запишите изменение импульса порции воды за время \(\Delta t\) и энергию, которую двигатель сообщает ей за то же время.

Ответ

\(P = \dfrac{Mgv}{2}\).

Решение

Флайборд висит благодаря силе тяги \(F = Mg\). По третьему закону Ньютона такая же сила ускоряет выбрасываемую воду. Пусть за время \(\Delta t\) ускоряется масса воды \(\Delta m\). Тогда \(F\,\Delta t = \Delta m\, v\). Пусть мощность флайборда равна \(P\), тогда расходуемая энергия за то же время \(P\,\Delta t = \dfrac{\Delta m\, v^2}{2}\). Деля уравнения, имеем: \(\dfrac{F}{P} = \dfrac{2}{v}\), откуда \(P = \dfrac{Fv}{2} = \dfrac{Mgv}{2}\).

Подсказка

Изменится ли давление только в отверстии водоотвода или на всей плотине? Вычислите импульс воды, которая уходит через канал за единицу времени.

Ответ

\(2\rho g h S\).

Решение

«Очевидный» ответ \(pS = \rho g h S\) неверен, так как при наличии стока меняется скорость воды у плотины, а следовательно, уменьшается давление на всю плотину, а не только на отверстие водоотвода. Поэтому правильный ответ проще всего получить, вычисляя импульс отведённой воды. Скорость воды по формуле Торричелли равна \(v = \sqrt{2gh}\). Поэтому импульс вытекшей воды за единицу времени равен \[\frac{dP}{dt} = (\rho v)(vS) = 2\rho g h S.\] Именно на эту величину прирастёт сила давления на плотину при перекрытии водоотвода.