«Надежда энергетики», 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Где лежит источник относительно фокуса линзы? Куда пойдут лучи после линзы, отразившись от зеркала, и где они соберутся после второго прохождения линзы?

Решение

Поскольку источник располагается в фокусе линзы, то вышедшие из него лучи после преломления в линзе выйдут из неё параллельно главной оптической оси. Они отразятся от зеркала и останутся параллельными г.о. с. Следовательно, после прохождения линзы снова соберутся в главном фокусе, т. е. в источнике. Перемещение зеркала влево никак не отразится на этом ходе лучей.

Освещённость в центре экрана (точка \(A\)) определяется суммой освещённостей от источника и от его изображения. Поскольку изображение источника — это он сам, то смещение зеркала никак не повлияет на освещённость в центре экрана.

Подсказка

При параллельном включении напряжение на генераторах одинаково, а токи складываются. Как меняется мощность при уменьшении скорости ветра в 6 раз?

Ответ

\(N_{10} = 280\) кВт.

Решение

Ветрогенераторы отличаются от остальных электрогенерирующих систем тем, что механическая нагрузка на генератор может изменяться случайным образом. Поэтому электрическую систему генератора проектируют так, чтобы поддерживать выходное напряжение на постоянном уровне. Мощность генератора, включённого в сеть в этом случае, определяется как \[N_1 = IU,\] где \(U\) — выходное напряжение генератора, \(I\) — сила тока в цепи. При изменении скорости ветра меняется сила тока в цепи.

При параллельном включении генераторов напряжение остаётся прежним, а силы токов через все генераторы суммируются: \(I_{\text{общ}} = 10I\). Здесь учтена одинаковость всех генераторов. Следовательно, мощность 10 параллельно соединённых генераторов будет составлять \(N_{10} = 10IU = 10N_1\).

По условию \(N \sim V^2\). Таким образом, при уменьшении скорости ветра в 6 раз мощность одного генератора падает в 36 раз: \[N_{10} = 10IU = \frac{10N_1}{36} = 280~\text{кВт}.\]

Подсказка

Энергия пружины \(W = F^2/(2k)\), где \(F\) — сила упругости. Какие направления ускорений возможны для силы упругости и силы тяжести разного знака?

Ответ

Либо оба ускорения направлены вниз, причём \(a_2 = \dfrac{4}{9}g\), \(a_1 = \dfrac{8}{9}g\); либо \(\vec a_1\) направлено вниз, \(\vec a_2\) — вверх, причём \(a_2 = \dfrac{4}{11}g\), \(a_1 = \dfrac{8}{11}g\).

Решение

Потенциальная энергия пружины \(W = \dfrac{F^2}{2k}\), откуда \(F = \sqrt{2kW}\). При \(W_2 = 25W_1\) получаем \(F_2 = 5F_1 = 5F\). Так как колебания происходят из нерастянутого положения, то пружина всегда деформирована, а модуль ускорения груза меньше \(g\). Обозначим \(a_2 = a > 0\), тогда \(a_1 = 2a\). Рассмотрим четыре случая направлений ускорений.

1) Оба ускорения вверх: \(F - mg = 2ma\), \(5F - mg = ma\). Отсюда \(4mg = -9ma\), \(a < 0\) — посторонний корень.

2) Оба ускорения вниз: \(mg - F = 2ma\), \(mg - 5F = ma\). Отсюда \(4mg = 9ma\), то есть \(a_2 = \dfrac{4}{9}g\), \(a_1 = \dfrac{8}{9}g\).

3) Первое вверх, второе вниз: \(F - mg = 2ma\), \(mg - 5F = ma\). Отсюда \(-4mg = 11ma\), \(a < 0\) — посторонний корень.

4) Первое вниз, второе вверх: \(mg - F = 2ma\), \(5F - mg = ma\). Отсюда \(4mg = 11ma\), то есть \(a_2 = \dfrac{4}{11}g\) (вверх), \(a_1 = \dfrac{8}{11}g\) (вниз).

Подсказка

Какая средняя скорость на участках разгона и торможения при равноускоренном движении от нуля до \(v\) и обратно до нуля?

Ответ

\(20\) км.

Решение

Обозначим \(S = 30\) км, время \(t = 20\) мин \(= \dfrac{1}{3}\) ч, \(v = 120\) км/ч, \(t_1\) — время движения с максимальной скоростью, \(S_1\) — путь с максимальной скоростью. Так как пути разгона и торможения поезд проходит со средней скоростью \(v/2\), имеем \[S = \frac{v}{2}(t - t_1) + vt_1 = \frac{vt}{2} + \frac{vt_1}{2} = \frac{vt}{2} + \frac{S_1}{2}.\] Отсюда \[S_1 = 2S - vt = 2\cdot 30 - 120\cdot\frac{1}{3} = 20~\text{км}.\]

Подсказка

Какая масса воды останавливается при перекрытии трубы за время, пока по ней проходит волна остановки? Запишите второй закон Ньютона в импульсной форме.

Ответ

\(V = 2\) м/с.

Решение

При резком перекрывании трубы мгновенно останавливается не вся вода в трубе, а только ближайший к месту перекрытия слой воды, массу которого можно определить по второму закону Ньютона в импульсной форме: \[mV = F\,\Delta t,\] где \(m\) — масса остановившегося слоя воды, \(V\) — его скорость перед остановкой, то есть скорость потока, \(F\) — сила, действующая на слой воды, \(\Delta t\) — время до полной остановки.

После остановки первого слоя останавливается второй, третий и т. д. слой воды. Таким образом, граница между уже покоящейся водой и ещё движущейся перемещается со скоростью, равной скорости звука в воде (самая наглядная аналогия — остановка потока машин перед светофором). Очевидно, что в трубе длиной \(L\) вода остановится за время \[\Delta t = \frac{L}{v_{\text{зв}}}.\] Подставим это время во второй закон Ньютона, где масса теперь будет обозначать всю массу воды в трубе длиной \(L\) и площадью поперечного сечения \(S\): \[\rho S L V = F\,\frac{L}{v_{\text{зв}}}.\] Преобразовав данное уравнение с учётом того, что отношение силы к площади поперечного сечения есть давление, получим \[p = \rho V v_{\text{зв}},\] откуда \[V = \frac{p_{\max}}{\rho v_{\text{зв}}} = \frac{25\cdot 10^5}{1000\cdot 1250} = 2~\text{м/с}.\]