«Надежда энергетики», 2023/24, заключительный этап, 7 класс

Какая сила действует на падающие капли, кроме силы тяжести, и как она зависит от скорости падения?

Облака падают медленно за счёт силы сопротивления воздуха, уравновешивающей силу тяжести. При этом за счёт броуновского движения в восходящем потоке воздуха частицы могут изменить направление движения и подняться.

Опоздание равно разности времени движения в тумане и времени в хорошую погоду. Для движения по течению и против течения скорость относительно берега разная.

В 5 раз.

Пусть \(U\) — скорость течения реки, \(V\) — скорость теплохода в стоячей воде, \(l\) — длина участка пути, где был туман, \(t_1\) и \(t_2\) — время движения теплоходов в тумане, \(T_1\) и \(T_2\) — время прохождения того же расстояния в хорошую погоду. Опоздание каждого теплохода определяется разностью времени движения в тумане и в хорошую погоду. Для теплохода, идущего по течению (в Поленово), скорость в тумане равна \(\frac{V}{2}+U\), в хорошую погоду — \(V+U\); для теплохода, идущего против течения (в Тарусу), — \(\frac{V}{2}-U\) и \(V-U\): \[\Delta t_1 = t_1 - T_1 = \frac{l}{\frac{V}{2}+U} - \frac{l}{V+U} = \frac{l\,\frac{V}{2}}{(V+U)\left(\frac{V}{2}+U\right)},\] \[\Delta t_2 = t_2 - T_2 = \frac{l}{\frac{V}{2}-U} - \frac{l}{V-U} = \frac{l\,\frac{V}{2}}{(V-U)\left(\frac{V}{2}-U\right)}.\] Отношение опозданий при известном отношении скоростей \(V = 4U\): \[\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} = \frac{(V+U)\left(\frac{V}{2}+U\right)}{(V-U)\left(\frac{V}{2}-U\right)} = \frac{(4+1)(2+1)}{(4-1)(2-1)} = 5.\]

Давление равно силе тяжести, делённой на площадь грани. Запишите три уравнения для трёх граней.

\(667\) кг/м\(^3\).

Обозначим длины граней бруска \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда \[p_1 ab = mg, \qquad p_2 bc = mg, \qquad p_3 ac = mg.\] Из первых двух равенств \(c = a\,\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{a}{2}\), из последних двух \(b = a\,\dfrac{p_3}{p_2} = \dfrac{3}{2}a\). Тогда \(p_1 \cdot \dfrac{3}{2}a^2 = mg\), откуда \(10^3 \cdot \dfrac{3}{2}a^2 = 135\) и \(a = 0{,}3\) м. Объём бруска \(V = abc = \dfrac{3}{4}a^3\), а плотность \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{4m}{3a^3} = \frac{4\cdot 13{,}5}{3\cdot 27\cdot 10^{-3}} \approx 667~\text{кг/м}^3.\]

Сила Архимеда на пирамиду направлена вниз, если пирамида прижата ко дну. Сравните с тем, как вода давила бы на дно без пирамиды.

\(26\) Н.

Если бы вместо клея был тонкий слой воды, то сила Архимеда равнялась бы \(F_A = \rho_{\text{в}} g V = F_A(\uparrow) - F_A(\downarrow) = \rho_{\text{в}} g h S - F_A(\downarrow)\), откуда \(F_A(\downarrow) = \rho_{\text{в}} g h S - \rho_{\text{в}} g V\).

Когда пирамида приклеена, сила давления на дно аквариума \[F_{\text{д}} = mg + F_A(\downarrow) = 2{,}7\,\rho_{\text{в}}\,\frac{a^3}{3}\,g + \rho_{\text{в}}\,g\left(2a^3 - \frac{1}{3}a^3\right) = 2{,}7\cdot 10^3\cdot\frac{10^{-3}}{3}\cdot 10 + 10^3\cdot 10\left(2\cdot 10^{-3} - \frac{1}{3}\cdot 10^{-3}\right) = 9 + 17 = 26~\text{Н}.\]

\(0{,}025\) м; \(1{,}5\) кг.

Объём стекла, израсходованного на первый сосуд из пяти одинаковых квадратных пластин со стороной \(a\) и толщиной \(\delta\), равен \(V_{\text{с}} = 5\,\delta a^2\), масса \(m_1 = \rho_{\text{с}} V_{\text{с}} = \rho_{\text{с}}\cdot 5\,\delta a^2\). Аналогично масса второго сосуда \(m_2 = \rho_{\text{с}}\cdot 5\,\delta\cdot(2a)^2 = 4m_1 = 4\cdot 0{,}125 = 0{,}5\) кг.

Объём воды, налитой в первый сосуд, \(V_{\text{в}} = a^3\), её масса \(m_{\text{в}} = \rho_{\text{в}} a^3 = 1000\cdot 0{,}1^3 = 1\) кг. При переливании воды из малого сосуда (площадь сечения \(S_1 = a^2\)) в большой (площадь сечения \(S_2 = (2a)^2 = 4a^2\)) по закону сохранения массы \(m_{\text{в}} = \rho_{\text{в}}\, a\, S_1 = \rho_{\text{в}}\, h\, S_2\), то есть \(a\cdot a^2 = h\cdot 4a^2\). Тогда \[h = \frac{a}{4} = \frac{0{,}1}{4} = 0{,}025~\text{м}.\] Масса второго сосуда с водой \(m_2 + m_{\text{в}} = 0{,}5 + 1 = 1{,}5\) кг.