«Надежда энергетики», 2023/24, заключительный этап, 8 класс

Какая сила действует на облако, падающее с постоянной скоростью? Что может поднимать мелкие капли против силы тяжести?

Облака падают медленно за счёт силы сопротивления воздуха, уравновешивающей силу тяжести. При этом за счёт броуновского движения в восходящем потоке воздуха частицы могут изменить направление движения и подниматься.

Опоздание равно разности времени движения в тумане и в хорошую погоду. Выразите скорости относительно берега через скорость течения \(U\) и скорость \(V\) в стоячей воде.

\(5\) раз.

Пусть \(U\) — скорость течения реки, \(V\) — скорость теплохода в стоячей воде, \(l\) — длина участка пути, где был туман, \(t_1\) и \(t_2\) — время движения теплоходов в тумане, \(T_1\) и \(T_2\) — время прохождения того же расстояния в хорошую погоду.

Очевидно, что опоздание каждого теплохода определяется разностью времени движения в тумане и в хорошую погоду: \[\Delta t_1 = t_1 - T_1 = \frac{l}{\dfrac{V}{2} + U} - \frac{l}{V + U} = \frac{l\,\dfrac{V}{2}}{(V + U)\left(\dfrac{V}{2} + U\right)},\] \[\Delta t_2 = t_2 - T_2 = \frac{l}{\dfrac{V}{2} - U} - \frac{l}{V - U} = \frac{l\,\dfrac{V}{2}}{(V - U)\left(\dfrac{V}{2} - U\right)}.\] Отношение этих опозданий при известном отношении скоростей приводит к ответу: \[\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} = \frac{(V + U)\left(\dfrac{V}{2} + U\right)} {(V - U)\left(\dfrac{V}{2} - U\right)} = \frac{(4 + 1)(2 + 1)}{(4 - 1)(2 - 1)} = 5 \text{ раз}.\]

Верхняя плитка может начать поворачиваться вокруг ребра нижней плитки. Запишите условие равновесия по силам и по моментам относительно этого ребра.

\(x \approx 13{,}6\) см.

Если верхняя плитка начнёт падать, то она будет поворачиваться вокруг оси, совпадающей с верхним ближним к стене ребром \(A\) неподвижной нижней плитки. Действующие на верхнюю плитку силы нормальной реакции и трения будут приложены в месте расположения ребра \(A\) нижней плитки и к ребру \(B\) верхней плитки. Учитывая это, записываем условия равновесия верхней плитки: \[mg = N_2 + F_1, \qquad N_1 = F_2, \qquad N_1 h + \frac{1}{2} mgl = N_2 x,\] где \(x\) — расстояние от ближнего торца нижней плитки до стены, \(h\) — толщина плитки. Первые два уравнения выражают условия равенства нулю суммы проекций сил на оси координат, а третье — условие равенства нулю суммы моментов этих сил относительно точки \(D\). Когда плитка начинает падать, происходит скольжение её относительно нижней плитки и стены, поэтому силы трения можно выразить через силы нормальной реакции: \(F_1 = \mu N_1\), \(F_2 = \mu N_2\).

Решая записанные уравнения относительно \(x\), находим \[x = \mu h + \left(1 + \mu^2\right)\frac{l}{2} = \left(2 + \mu + 2\mu^2\right)\frac{l}{4} \approx 13{,}6~\text{см}.\]

Представьте, что под пирамидой есть тонкий слой воды: какая сила Архимеда действовала бы на пирамиду? Что меняется, когда пирамида приклеена ко дну?

\(26\) Н.

Если бы вместо клея был тонкий слой воды, то сила Архимеда равнялась бы \[F_A = \rho_\text{в}\, g V = F_A(\uparrow) - F_A(\downarrow) = \rho_\text{в}\, g h S - F_A(\downarrow) \;\Rightarrow\; F_A(\downarrow) = \rho_\text{в}\, g h S - \rho_\text{в}\, g V.\] Когда пирамида приклеена, сила давления на дно аквариума \[F_\text{д} = mg + F_A(\downarrow) = 2{,}7\,\rho_\text{в}\,\frac{a^3}{3}\,g + \rho_\text{в}\, g\left(2a^3 - \frac{1}{3}a^3\right) = 9~\text{Н} + 17~\text{Н} = 26~\text{Н}.\]

Запишите закон сохранения энергии для объёма воды, прошедшего через турбину за время \(t\). Расход воды связывает скорость в водоводе с его диаметром.

\(\Delta T \approx 0{,}05\) °C.

Вода в водохранилище гидроэлектростанции обладает запасом потенциальной энергии \(W = mgh\). Этот запас расходуется на совершение работы против сил вязкого трения в водоводе (что и приводит к нагреванию воды), на элементы гидротурбины, на вращение самой гидротурбины и на сообщение кинетической энергии водяному потоку. Для данного случая закон сохранения энергии записывается в виде \[mgh = cm\,\Delta T + \frac{Nt}{\eta} + \frac{mv^2}{2},\] где \(\eta\) — КПД гидрогенератора, \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(\Delta T\) — разность температур воды до и после плотины, \(h\) — уровень воды над турбиной, \(v\) — скорость потока воды в водоводе.

Расход воды через водовод равен \[G = \frac{V}{t} = Sv = \frac{\pi d^2}{4}\,v,\] где \(V\) — объём воды, проходящий через турбину за время \(t\), \(S\) — площадь водовода, \(d\) — его диаметр. Скорость потока одинакова по всей длине водовода вследствие несжимаемости воды и неразрывности струи.

Поскольку \(m = \rho V = \rho G t\) и \(v = \dfrac{4G}{\pi d^2}\), уравнение можно переписать в виде \[gh = c\,\Delta T + \frac{N}{\eta G \rho} + \frac{1}{2}\left(\frac{4G}{\pi d^2}\right)^2.\] Откуда \[\Delta T = \frac{gh}{c} - \frac{N}{\eta G \rho c} - \frac{1}{2c}\left(\frac{4G}{\pi d^2}\right)^2 = \frac{10 \cdot 200}{4200} - \frac{600\cdot 10^6}{0{,}95 \cdot 360 \cdot 1000 \cdot 4200} - \frac{(4 \cdot 360)^2}{2 \cdot 4200\,(\pi \cdot 7{,}5)^2} \approx 0{,}05~\text{°C}.\]