«Надежда энергетики», 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Где находится изображение источника в плоском зеркале? Куда пойдут лучи от источника после линзы, если источник стоит в её фокусе?

Решение

Поскольку источник располагается в фокусе линзы, то вышедшие из него лучи после преломления в линзе выйдут из неё параллельно главной оптической оси. Они отразятся от зеркала и останутся параллельными главной оптической оси. Следовательно, после прохождения линзы снова соберутся в главном фокусе, т. е. в источнике. Перемещение зеркала влево никак не отразится на этом ходе лучей.

Освещённость в центре экрана (точка \(A\)) определяется суммой освещённостей от источника и от его изображения. Поскольку изображение источника — это он сам, то смещение зеркала никак не повлияет на освещённость в точке \(A\): она не изменится.

Подсказка

Представьте, что под пирамидой есть тонкий слой воды: какая сила Архимеда действовала бы на пирамиду? Что меняется, когда пирамида приклеена ко дну?

Ответ

\(26\) Н.

Решение

Если бы вместо клея был тонкий слой воды, то сила Архимеда равнялась бы \[F_A = \rho_\text{в}\, g V = F_A(\uparrow) - F_A(\downarrow) = \rho_\text{в}\, g h S - F_A(\downarrow) \;\Rightarrow\; F_A(\downarrow) = \rho_\text{в}\, g h S - \rho_\text{в}\, g V.\] Когда пирамида приклеена, сила давления на дно аквариума \[F_\text{д} = mg + F_A(\downarrow) = 2{,}7\,\rho_\text{в}\,\frac{a^3}{3}\,g + \rho_\text{в}\, g\left(2a^3 - \frac{1}{3}a^3\right) = 9~\text{Н} + 17~\text{Н} = 26~\text{Н}.\]

Подсказка

Верхняя плитка может начать поворачиваться вокруг ребра нижней плитки. Запишите условие равновесия по силам и по моментам относительно этого ребра.

Ответ

\(x \approx 13{,}6\) см.

Решение

Если верхняя плитка начнёт падать, то она будет поворачиваться вокруг оси, совпадающей с верхним ближним к стене ребром \(A\) неподвижной нижней плитки. Действующие на верхнюю плитку силы нормальной реакции и трения будут приложены в месте расположения ребра \(A\) нижней плитки и к ребру \(B\) верхней плитки. Учитывая это, записываем условия равновесия верхней плитки: \[mg = N_2 + F_1, \qquad N_1 = F_2, \qquad N_1 h + \frac{1}{2} mgl = N_2 x,\] где \(x\) — расстояние от ближнего торца нижней плитки до стены, \(h\) — толщина плитки. Первые два уравнения выражают условия равенства нулю суммы проекций сил на оси координат, а третье — условие равенства нулю суммы моментов этих сил относительно точки \(D\). Когда плитка начинает падать, происходит скольжение её относительно нижней плитки и стены, поэтому силы трения можно выразить через силы нормальной реакции: \(F_1 = \mu N_1\), \(F_2 = \mu N_2\).

Решая записанные уравнения относительно \(x\), находим \[x = \mu h + \left(1 + \mu^2\right)\frac{l}{2} = \left(2 + \mu + 2\mu^2\right)\frac{l}{4} \approx 13{,}6~\text{см}.\]

Подсказка

Вольтметр работает как резистор с напряжением на себе. В последовательной цепи напряжения складываются: что равно ЭДС источника в первой и второй схемах?

Ответ

Каждый вольтметр показывает \(4{,}5\) В.

Решение

ЭДС источника \(\mathcal{E} = u_1 + u_3 = 9\) В. Вольтметр показывает падение напряжения на себе самом.

Из первой схемы: \(\dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{u_2}{u_1} = 2\), откуда \(R_1 = R\), \(R_2 = 2R\). Из второй схемы: \(\dfrac{3R}{R_3} = \dfrac{\mathcal{E} - u_3}{u_3} = \dfrac{9 - 3{,}6}{3{,}6} = 1{,}5\), откуда \(R_3 = 2R\).

Из третьей схемы (см. рис.) видно, что сопротивление параллельно соединённых второго и третьего вольтметров равно \(R\), и оно последовательно с \(R_1 = R\). Напряжение на каждом вольтметре равно \(\mathcal{E}/2 = 4{,}5\) В.

Подсказка

Силы Ампера на двух сторонах направлены противоположно и вместе дают ноль. Что может сдвинуть рамку — опрокидывание вокруг одной стороны? Сравните моменты сил.

Ответ

\(B_\text{min} = \dfrac{4mg}{\sqrt{3}\,Il}\).

Решение

На рисунке изображён вид сверху на горизонтальный стол. Направление тока в рамке — по часовой стрелке. При указанном направлении линий индукции (они параллельны стороне 3) на рамку действуют: сила тяжести \(m\vec g\), приложенная в центре рамки; сила реакции стола \(\vec N\), приложенная в середине стороны 2; две силы Ампера \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\), приложенные в серединах сторон 1 и 2.

Модули сил Ампера одинаковы: \[F_1 = F_2 = IB\,\frac{l}{3}\sin\frac{\pi}{3} = IB\,\frac{l\sqrt{3}}{6},\] а направлены они противоположно, поэтому \(\vec F_1 + \vec F_2 = 0\). Однако сила \(\vec F_2\) прижимает сторону 2 к столу, а сила \(\vec F_1\) отрывает сторону 1 от стола. Рамка начнёт поворачиваться вокруг стороны 2, если момент силы \(F_1\) относительно этой стороны будет больше момента силы тяжести относительно той же стороны. Высота треугольника равна \(\dfrac{l}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); середина стороны 1 находится на половине высоты, центр тяжести — на трети высоты. Поэтому \[F_1 \cdot \frac{1}{2}\,\frac{l}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} > mg \cdot \frac{1}{3}\,\frac{l}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad\text{откуда}\qquad F_1 > \frac{2}{3}\,mg.\] Подставляя значение силы Ампера, получаем \[IB\,\frac{l\sqrt{3}}{6} > \frac{2}{3}\,mg \;\Rightarrow\; B > \frac{4mg}{\sqrt{3}\,Il}.\]