«Покори Воробьёвы горы!», 2014/15, отборочный этап, 10–11 класс

Сила тяготения потенциальна: работа зависит только от начального и конечного положения. Сравните расстояния до Солнца в точке выхода и точке входа кометы.

Вариант г): \(A=0\).

Во всех вариантах вопрос сводился к вычислению работы потенциальных сил при перемещении тела между точками с одинаковым значением потенциальной энергии. Если считать Солнце шаром со сферически-симметричным распределением масс, потенциальная энергия кометы в его поле зависит только от расстояния до Солнца. Комета входит в орбиту Нептуна и выходит из неё в двух точках одной круговой орбиты, где это расстояние одинаково. Такая работа всегда равна нулю.

Найдите ускорение из условия роста скорости в три раза за время \(t_1\). Дальше запишите координату шайбы при \(t>t_1\) и найдите момент, когда она вернётся в \(x=0\).

\(t\approx22{,}8\) с.

Пусть \(v_0\) — скорость шайбы в момент \(t=0\), координату \(x\) отсчитываем от точки \(A\) в направлении начального движения. Обозначим \(a\) постоянное ускорение. Тогда \(v_0+at_1=3v_0\), откуда \(a=\dfrac{2v_0}{t_1}\). При этом \(x(t_1)=v_0t_1+\dfrac{at_1^2}{2}=2v_0t_1\), а закон движения при \(t>t_1\) записывается так: \(x(t)=2v_0t_1+3v_0(t-t_1)+\dfrac{v_0(t-t_1)^2}{t_1}\). Тогда искомое время определяется из уравнения \(x(t)=0\Rightarrow(t-t_1)^2-3t_1(t-t_1)-2t_1^2=0\). Следовательно, \(t=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\,t_1\approx22{,}8\) с.

Внутренняя энергия гелия зависит только от температуры, а в обоих процессах начальная и конечная температуры совпадают. Значит, тепло равно работе газа. Сравните работы на участках 1–2 и 2–3 и используйте изохорность процесса 3–1.

\(460\) Дж.

В обоих процессах (1–2 и 2–3–1) начальная и конечная температуры совпадают, поэтому внутренняя энергия гелия не изменяется и количество теплоты равно работе гелия: \(Q=Q_{12}=A_{12}=\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)\), \(Q'=Q_{231}=A_{23}=-p_2(V_2-V_1)\) (в процессе 2–3–1 тепло действительно отводится от гелия). Следовательно, \(|Q'|=\dfrac{2p_2}{p_1+p_2}\,Q\). Так как процесс 3–1 — изохорный, то \(\dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{T_1}{T_3}=n\), и \(|Q'|=\dfrac{2}{n+1}\,Q=460\) Дж.

Найдите точки схемы, которые при симметрии имеют одинаковые потенциалы. Ветви между такими точками ток не проводят и их можно убрать.

\(225\) мА.

В силу симметрии схемы потенциалы точек \(A\) и \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\), \(F\) и \(G\) равны. Поэтому ток по соединяющим их ветвям не течёт, и их можно удалить из схемы без изменения тока через амперметр. В результате получается существенно более простая схема, в которой \(R_{\text{общ}}=R\), и поэтому \(I=\dfrac{E}{R+r+r'}=225\) мА.

Поперечное увеличение связано с расстояниями до предмета и изображения, а формула тонкой линзы — с фокусным расстоянием. Фокусное расстояние в жидкости зависит от показателя преломления жидкости.

\(n_0=1{,}4\).

Поскольку изображение создавалось на экране, оно было действительным, значит, линза собирающая. Поперечное увеличение связано с расстояниями до предмета \(a\) и изображения \(b\): \(\dfrac{d_1}{d}=\dfrac{b}{a}\). По формуле тонкой линзы \(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1F\) получаем \(\dfrac{d_1}{d}=\dfrac{F}{a-F}\) (изображение действительное при \(a>F\)). Отсюда фокусное расстояние линзы в воздухе \(F=\dfrac{ad_1}{d+d_1}\). Аналогично для жидкости \(F'=\dfrac{ad_2}{d+d_2}\) (величина \(a\) не изменилась). Оптическая сила линзы \(D=\dfrac1F\) пропорциональна отличию показателя преломления линзы от показателя среды, поэтому \(\dfrac{D'}{D}=\dfrac{F}{F'}=\dfrac{n/n_0-1}{n-1}=\dfrac{n-n_0}{n_0(n-1)}=\dfrac{d_1(d+d_2)}{d_2(d+d_1)}\), где \(n_0\) — показатель преломления жидкости. Отсюда \(n_0=\dfrac{d_2(d+d_1)}{d_2(d+d_1)+(n-1)d_1(d+d_2)}\,n=\dfrac75=1{,}4\).

Заряд заполненного конденсатора нелинейно зависит от напряжения. Установившееся напряжение одинаково на обоих конденсаторах, а суммарный заряд сохраняется.

В три раза: \(q'=\dfrac{q_0}{3}\).

Пусть ёмкость воздушного конденсатора равна \(C_0\). Тогда его начальный заряд \(q_0=C_0U_0\). У конденсатора, заполненного диэлектриком, связь заряда с напряжением нелинейная: \(q=C(U)U=\dfrac{\varepsilon(U)\varepsilon_0S}{d}U=\dfrac32C_0\left(1+\dfrac{U}{U_0}\right)U\) (здесь учтено, что \(\dfrac{E}{E_0}=\dfrac{Ed}{E_0d}=\dfrac{U}{U_0}\)). За достаточно большое время после соединения напряжения на конденсаторах практически выровняются. Если заряд заполненного конденсатора при этом равен \(q\), то заряд воздушного равен \(q'=C_0U_0-q\), поэтому \(U=\dfrac{q'}{C_0}=U_0-\dfrac{q(U)}{C_0}=U_0-\dfrac32U\left(1+\dfrac{U}{U_0}\right)\Rightarrow\left(\dfrac{U}{U_0}\right)^2+\dfrac53\,\dfrac{U}{U_0}-\dfrac23=0\). Физический смысл имеет только положительный корень \(\dfrac{U}{U_0}=\dfrac13\), и \(q'=\dfrac13C_0U_0\) (отрицательный корень \(\dfrac{U}{U_0}=-2\) соответствует случаю, когда конденсатор в процессе разрядки меняет полярность пластин, и не согласуется с законом сохранения энергии). Значит, \(\dfrac{q'}{q_0}=\dfrac13\).

Давление аргона у поверхности задано весом аргона и постоянно, пока есть пар. Когда пар конденсируется, давление складывается из давления жидкого слоя и давления насыщенного пара при новой температуре.

1) \(h(x)=h_{\max}\dfrac{1-\varphi_0}{\varphi_0}\left(\dfrac{x}{x_1}-1\right)\), где \(x=\dfrac{T_0-T}{T_0}\) — относительное понижение температуры; глубина океана растёт линейно при дальнейшем понижении температуры;  2) ещё на \(\Delta x=\dfrac{\varphi_0}{2(1-\varphi_0)}\,x_1=0{,}6\,\%\) от начальной.

Давление аргона на поверхность планеты определяется его весом и поэтому постоянно: \(p_0=\dfrac{mg}{S}\) (здесь \(m\) — масса аргона, \(g\) — ускорение свободного падения вблизи поверхности, \(S\) — площадь поверхности). Согласно условию, \(p_0=\varphi_0\,p_H(T_0)\), где \(p_H(T_0)\) — давление насыщенного пара аргона при начальной температуре. Гелий при указанных температурах не конденсируется, поэтому его парциальное давление просто добавляется к \(p_0\) и не влияет на начало конденсации аргона при охлаждении до температуры \(T_1\), определяемой из условия \(p_0=p_H(T_1)\). Запишем линейную зависимость \(p_H(T)=\alpha+\beta T\). Тогда \(p_H(T)=\dfrac{p_0}{\varphi_0x_1}\left[\varphi_0+x_1-1+(1-\varphi_0)\dfrac{T}{T_0}\right]\). После начала конденсации давление аргона на поверхность планеты остаётся прежним, но теперь оно складывается из давления слоя жидкого аргона глубиной \(h\), равного \(\rho gh\) (\(\rho\) — плотность жидкого аргона; растворением гелия в жидком аргоне пренебрегаем), и давления насыщенных паров над поверхностью при новой температуре: \(p_0=\rho gh+\dfrac{p_0}{\varphi_0x_1}\left[x_1-(1-\varphi_0)x\right]\), где введено обозначение \(x=\dfrac{T_0-T}{T_0}\) (относительное уменьшение температуры). Из этого уравнения находим \(h(x)=\dfrac{p_0}{\rho g}\,\dfrac{1-\varphi_0}{\varphi_0}\left(\dfrac{x}{x_1}-1\right)\). При дальнейшем понижении температуры (\(x>x_1\)) глубина океана растёт по линейному закону. Заметим также, что \(\dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{m}{\rho S}=h_{\max}\) — максимальная глубина аргонового океана, достигаемая, когда весь аргон сконденсируется. Глубина океана равна половине максимальной при \(\dfrac{1-\varphi_0}{\varphi_0}\left(\dfrac{x}{x_1}-1\right)=\dfrac12\), то есть \(x=\dfrac{2-\varphi_0}{2(1-\varphi_0)}\,x_1\equiv x_2\). Соответственно для достижения этой глубины нужно ещё понизить температуру на \(\Delta x=x_2-x_1=\dfrac{\varphi_0}{2(1-\varphi_0)}\,x_1=0{,}6\,\%\).

Сравните скорость и время падения с формулами для свободного падения. Расхождение говорит о силе сопротивления; проверьте линейную модель, записав связь \(V\), \(T\) и \(h\) через интеграл уравнения движения.

Экспериментальные данные описываются с требуемой точностью в модели, в которой шарик движется под действием силы тяжести \(\vec F_g=m\vec g\) и силы сопротивления воздуха \(\vec F_c=-\alpha\vec v\), где \(\alpha=(1{,}20\pm0{,}04)\cdot10^{-4}\) кг/с, \(\dfrac{\alpha}{m}=(0{,}3330\pm0{,}0025)\) с\(^{-1}\).

Из значений скорости и времени падения, которые заметно отличаются от \(\sqrt{2gh}\) и \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\), очевидно, что падение действительно не является свободным. Логично предположить наличие силы сопротивления воздуха (шарик маленький, поэтому архимедову силу пренебрежимо малой). Рассмотрим линейную модель \(\vec F_c=-\alpha\vec v\). Направим ось \(x\) вертикально вниз и запишем уравнение движения в проекции на неё: \(m\dfrac{dv_x}{dt}=mg-\alpha v_x\Rightarrow dv_x=g\,dt-\dfrac{\alpha}{m}\,dx\). Просуммировав изменения от начала падения до удара о землю, получим \(V=gT-\dfrac{\alpha}{m}h\), то есть \(\dfrac{gT-V}{h}=\dfrac{\alpha}{m}=\text{const}\). По таблице эта величина постоянна: разброс её значений получается заметно меньше \(5\,\%\) (и даже меньше \(1\,\%\)). Взяв среднее значение, находим \(\dfrac{\alpha}{m}=(0{,}3330\pm0{,}0025)\) с\(^{-1}\), откуда \(\alpha\approx1{,}20\cdot10^{-4}\) кг/с. Погрешность определения \(\alpha\) лишь немного хуже точности, с которой известны \(m\) и \(g\). Для более серьёзной проверки вычисляем теоретические \(V\) и \(h\) по времени падения с помощью решения уравнения \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{\alpha}{m}v\): \(V(t)=\dfrac{mg}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t/m}\right)\) и \(h(t)=\dfrac{mg}{\alpha}\,t-\dfrac{m^2g}{\alpha^2}\left(1-e^{-\alpha t/m}\right)\); все экспериментальные значения попадают в интервалы погрешностей теоретических значений, модель описывает данные с требуемой точностью.