«Покори Воробьёвы горы!», 2014/15, отборочный этап, 7–9 класс

Подумайте, как влияют сахар и сливки на скорость остывания кофе, если их добавить в начале ожидания и в конце.

Вариант б): второй.

И растворение сахара, и добавление сливок понижает температуру кофе (а сливки ещё создают жировую плёнку на его поверхности). В результате эти действия замедляют его остывание. Следовательно, для получения наиболее горячего кофе необходимо произвести эти действия как можно раньше, а для получения наиболее холодного — как можно позже.

Все размеры спирали растут в одной и той же пропорции, а точка \(A\) закреплена. Значит, смещение \(B\) равно изменению длины отрезка \(AB\). Найдите длину \(AB\) по его проекциям на перпендикулярные оси.

\(1\) мм.

При нагревании на \(10\) °C все размеры в «спирали» увеличиваются на \(1\,\%\), и точка \(A\) остаётся неподвижной. В частности, в этой же пропорции увеличивается длина отрезка \(AB\). Изначально смещение от точки \(A\) к \(B\) по горизонтали составляло \((9-7+5-3+2)\) см, то есть \(6\) см, а по вертикали — \((11-8+7-4+2)\) см \(=8\) см. Поэтому начальная длина этого отрезка по теореме Пифагора \(10\) см, а после нагревания на \(10\) °C — \(10{,}1\) см. Итак, точка \(B\) сместится в направлении от точки \(A\) на \(1\) мм.

Свеча видна в зеркале двери по закону отражения: луч от свечи отражается от края двери и попадает в глаз. Постройте этот ход луча, используя \(\sin\alpha=\dfrac{d}{D}\).

\(x\approx17\) см (принимался также ответ 16 см).

Для учеников младших классов наиболее простой способ решения — графический: выполнив в разумном масштабе построение с помощью циркуля, линейки и транспортира с учётом закона отражения света (в правый глаз мистера Икса первым попадает луч, отражённый от края двери; падающие лучи идут практически перпендикулярно стене, а угол падения равен углу отражения), можно измерить расстояние \(x\) на чертеже.

Аналитическое решение возможно для тех участников, которые знакомы с тригонометрическими функциями. Поскольку \(\sin\alpha=\dfrac{d}{D}\), и при этом, как видно из рисунка, \(d-x=[L+D-D\cos\alpha]\dfrac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=[L+D-D\cos\alpha]\dfrac{1-2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}\), то \(x=d-\left[L+D-\sqrt{D^2-d^2}\right]\dfrac{D^2-2d^2}{2d\sqrt{D^2-d^2}}\approx16{,}9\) см. При округлении до целого получаем ответ \(x\approx17\) см. Учитывая возможные погрешности при построении, правильным во всех вариантах принимался любой целый ответ, отличающийся от точного менее чем на \(1\) см.

Короткое замыкание \(C\)–\(D\) даёт напряжение между \(A\) и \(B\) через ток \(I\) и резистор. Для последовательного и параллельного включения ламп запишите напряжение на каждой лампе через её ток и составьте уравнение для тока амперметра.

\(1{,}68\) А.

Опыт с коротким замыканием клемм \(C\) и \(D\) позволяет записать для напряжения между клеммами \(A\) и \(B\): \(U_{AB}\approx IR\). При последовательном подключении ламп ток в них одинаков и равен \(I_1\), а напряжение на каждой лампе \(U(I_1)=U_0\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right)^2\). Поэтому \(2U_0\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right)^2=U_{AB}-I_1R=(I-I_1)R\). Если при параллельном включении через амперметр течёт ток \(I_2\), то ток в каждой из ламп равен \(\dfrac{I_2}{2}\), и поэтому \(U_0\left(\dfrac{I_2}{2I_0}\right)^2=U_{AB}-I_2R=(I-I_2)R\). Разделив эти соотношения друг на друга, получаем уравнение для определения \(I_2\): \(I_2^2+\dfrac{8I_1^2}{I-I_1}I_2-\dfrac{8II_1^2}{I-I_1}=0\). Физический смысл имеет положительный корень: \(I_2=\dfrac{2I_1}{I-I_1}\left[\sqrt{4I_1^2+2I(I-I_1)}-2I_1\right]=1{,}68\) А.

Измеряйте не один лист, а большую стопку. Толщину одного листа найдите делением.

\(d=(0{,}053\pm0{,}002)\) мм.

Ножницами можно вырезать из листа «полоски» шириной в одну-две-три клетки. Если складывать полоски «гармошкой», а затем с помощью планок плотно прижимать «гармошки» друг к другу, то расстояние между планками будет соответствовать толщине большого числа листов бумаги. Можно добиться того, чтобы это расстояние оказалось равно стороне одной клетки листа, который используется ещё и как линейка, — длина этой стороны примерно \(5\) мм. Источники ошибки — отличие длины стороны от \(5\) мм (допускается оценка участником возможного разброса без специального основания) и разброс количества слоёв бумаги в \(5\) мм. Лучше всего поставить эксперимент с «прижатием» хотя бы три–пять раз. «Реалистичные» значения: сторона клетки \(a=(5\pm0{,}2)\) мм, количество «слоёв» в \(5\) мм варьируется на \(4\)–\(8\) от измерения к измерению (при достаточно качественном прижатии). Конкретное количество слоёв зависит от сорта бумаги — в изученных образцах оно колебалось от \(80\) до \(100\). Например, если \(a=(5\pm0{,}1)\) мм, а \(N=(94\pm3)\), то толщина листа \(d=\dfrac aN\approx0{,}0532\) мм. Ошибку измерения можно оценить, обратив внимание, что \(\dfrac{0{,}1}{5}=0{,}02\) и \(\dfrac{3}{94}\approx0{,}03\), так что суммарная ошибка не превышает \(5\,\%\): \(d=(0{,}053\pm0{,}003)\) мм. На самом деле, с учётом законов статистики, стандартное отклонение \(\dfrac{\Delta d}{d}\approx0{,}036\), и реально точность даже несколько выше: \(d=(0{,}053\pm0{,}002)\) мм, но на уровне требований школьной программы оба подхода следует считать правильными.

Для каждого мальчика время складывается из времени подъёма (или спуска) по своему эскалатору и времени погони за портфелями на спускающемся эскалаторе.

\(V_2=V_1>2u\) либо \(V_2=V_1+2u\).

Время «погони» для Петра состоит из времени подъёма по своему эскалатору \(t_1=\dfrac{L}{2(V_1+u)}\) (здесь \(L\) — длина эскалатора, \(u\) — скорость его движения) и времени спуска \(t_2\) по встречному эскалатору до портфелей. За время подъёма портфели удалились от верха эскалатора на \(s=ut_1=\dfrac{uL}{2(V_1+u)}\), а Пётр догоняет портфели со скоростью \(V_2\), поэтому \(t_2=\dfrac{1}{V_2}\left[\dfrac L2+s\right]=\dfrac{L(V_1+2u)}{2V_2(V_1+u)}\). Полное время погони \(t_{П}=t_1+t_2=\dfrac{L(V_1+V_2+2u)}{2V_2(V_1+u)}\).

Аналогично для Василия: \(t_1'=\dfrac{L}{2(V_2-u)}\), \(s'=ut_1'=\dfrac{uL}{2(V_2-u)}\), \(t_2'=\dfrac{1}{V_1}\left[\dfrac L2-s'\right]=\dfrac{L(V_2-2u)}{2V_1(V_2-u)}\). Следовательно, \(t_{В}=t_1'+t_2'=\dfrac{L(V_1+V_2-2u)}{2V_1(V_2-u)}\).

Мальчики одновременно добегут до портфелей, если \(t_{П}=t_{В}\), что приводится к виду \(u(V_2-V_1)(V_2-V_1-2u)=0\). По условию \(u\ne0\), поэтому возможны соотношения \(V_2=V_1\) и \(V_2=V_1+2u\). Чтобы встреча произошла на эскалаторе, Василий должен достигать нижней точки своего эскалатора раньше, чем портфели доедут до нижней точки своего, то есть \(V_2-u>u\Rightarrow V_2>2u\). Поскольку по условию \(V_1>0\), при \(V_2=V_1+2u\) это требование выполнено, а при \(V_2=V_1\) оно ограничивает возможные значения скоростей.

Работа пара при постоянном давлении равна произведению давления на изменение объёма. Объём пара найдите через массу и плотность. Тепло складывается из трёх частей: плавление льда, нагрев воды и испарение.

\(\eta=\dfrac{2p}{\rho\left[\lambda+2c(t_1-t_0)+2r\right]}\approx0{,}0558\approx5{,}6\,\%\), где \(t_0=0\) °C.

Поскольку в начальном состоянии находились в равновесии вода и лёд, начальная температура \(t_0=0\) °C. Когда температура достигла \(t_1=100\) °C, часть воды уже испарилась, и давление на поршень создавал насыщенный водяной пар, давление которого при этой температуре \(p_1\approx101\) кПа. Это давление было немного больше внешней нагрузки (веса груза и внешнего давления), и поршень (как сказано в условии) поехал вверх. В процессе подъёма поршня давление (а значит, и температура) вплоть до полного испарения жидкости поддерживалось неизменным. Если пренебречь объёмом воды и льда по сравнению с объёмом образовавшегося пара, то высота подъёма поршня \(h\approx\dfrac{V_{\text{пара}}}{S}=\dfrac{m}{S\rho}\), где \(S\) — площадь сечения трубы, \(m\) — общая масса воды под поршнем. Следовательно, работа пара над поршнем в процессе подъёма \(A=p_1S\cdot h=\dfrac{mp_1}{\rho}\).

Количество тепла, сообщённое воде от нагревателя, состоит из теплоты плавления льда \(Q_1=\dfrac{m}{2}\lambda\), теплоты нагревания воды \(Q_2=cm(t_1-t_0)\) и теплоты испарения воды \(Q_3=mr\). Поэтому \(Q=Q_1+Q_2+Q_3=m\left[\dfrac{\lambda}{2}+c(t_1-t_0)+r\right]\). Теперь можно определить КПД подъёмника: \(\eta=\dfrac AQ=\dfrac{2p_1}{\rho[\lambda+2c(t_1-t_0)+2r]}\approx0{,}0558\approx5{,}6\,\%\).

Рассмотрите три случая по мере подъёма уровня воды: куб лежит на дне, куб всплывает и растягивает пружину, пружина удерживает куб целиком под водой. Для каждого случая запишите условие равновесия сил.

Ответ зависит от уровня \(H\) (доля объёма \(V_n/V\) под водой): 1) при \(H\le\dfrac a5\) — \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac Ha\);  2) при \(\dfrac a5<H\le\dfrac{21a}{5}\) — \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac15\);  3) при \(\dfrac{21a}{5}<H\le6a\) — \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac{4H}{9a}-\dfrac53\);  4) при \(H>6a\) — \(\dfrac{V_n}{V}=1\).

Поначалу, при достаточно низком уровне, куб лежит на дне. В этом случае под водой находится часть объёма, соответствующая глубине слоя воды: \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac{a^2H}{a^3}=\dfrac Ha\). Отрыв куба от дна произойдёт, когда сила Архимеда сравняется с силой тяжести: \(F_A=\rho a^2Hg=mg=\dfrac{\rho}{5}a^3g\Rightarrow H_1=\dfrac a5\). Таким образом, при \(H>\dfrac a5\) куб оторвётся от дна и будет всплывать вместе с подъёмом уровня жидкости. Пока пружина не натянется, сохраняется равновесие сил Архимеда и тяжести, и поэтому глубина погружения куба не меняется: \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac15\). Пружина натянется, когда высота уровня сравняется с суммой \(l=4a\) и глубины погружения, то есть при \(H_2=\dfrac{21}{5}a\).

Далее условие равновесия сил принимает вид: \(F_A=mg+k\Delta l\Rightarrow\rho a^2xg=\dfrac{\rho}{5}a^3g+k(H-4a-x)\), где \(x\) — глубина погружения куба, \(k\) — коэффициент жёсткости пружины, удлинение которой \(\Delta l=H-l-x=H-4a-x\). Поскольку согласно условию \(k\dfrac a4=mg=\dfrac{\rho}{5}a^3g\), то \(k=\dfrac45\rho a^2g\), и поэтому \(x=\dfrac a5+\dfrac45(H-4a-x)\Rightarrow x=\dfrac{4H-15a}{9}\Rightarrow\dfrac{V_n}{V}=\dfrac{4H}{9a}-\dfrac53\).

По смыслу эта величина не может быть больше единицы, поэтому формула применима только до уровня \(H_3=6a\) (при котором \(\dfrac{4H}{9a}-\dfrac53=1\)). При большем уровне воды пружина уже целиком удерживает куб под водой, и \(\dfrac{V_n}{V}=1\).