«Покори Воробьёвы горы!», 2014/15, заключительный этап, 10-11 класс

Удобно перейти к системе центра масс: скорость каждой шайбы складывается из скорости центра масс и вращения вокруг него.

Вопрос: \(\alpha = 135^\circ\).  Задача: \(T = \dfrac{2mv^2}{L}\).

Вопрос. Вектор скорости точки A — сумма скорости центра колеса (горизонтально) и скорости вращения точки A вокруг центра (вертикально вниз). Так как проскальзывания нет, эти скорости равны, и вектор скорости \(\vec v_A\) направлен под углом \(45^\circ\) к вертикали. Скорость центра постоянна, поэтому ускорение точки совпадает с центростремительным ускорением её вращения вокруг центра, то есть направлено к центру колеса. Таким образом, \(\alpha = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\).

Задача. Скорость каждой из шайб равна сумме скорости движения центра масс системы и скорости вращения шайбы вокруг центра масс. Центр масс движется равномерно и прямолинейно: \(\vec V = \dfrac13\vec v_1 + \dfrac23\vec v_2 = \text{const}\). Поскольку нить натянута и нерастяжима, проекции скоростей её точек на ось \(x\) вдоль нити равны: \(v_{1x} = v = v_{2x} = V_x\). Из условия \(|\vec v_2| = 2v\) получаем \(v_{2y} = \sqrt{(2v)^2 - v^2} = \sqrt3\,v\). Тогда \(V_y = \dfrac13 v_{1y} + \dfrac23 v_{2y} = -\dfrac{2}{\sqrt3}\,v\), и скорость вращения первой шайбы вокруг центра масс \(u = v_{1y} - V_y = \dfrac{2}{\sqrt3}\,v\). Центростремительное ускорение первой шайбы при вращении вокруг центра масс (радиус \(r_1 = \dfrac23 L\)) создаётся силой натяжения нити: \[T = m\frac{u^2}{r_1} = \frac{2mv^2}{L}.\]

Запишите условие равновесия поршня в каждом состоянии и учтите, что температура постоянна.

Вопрос: плотность газа должна быть значительно меньше плотности соответствующей жидкости, а температура не слишком низкой и не слишком высокой.  Задача: \(h = 27\) см.

Вопрос. Для справедливости модели идеального газа необходимо, чтобы расстояние между молекулами было много больше размеров самих молекул, а среднее значение потенциальной энергии их взаимодействия много меньше среднего значения их кинетической энергии. Расстояние между молекулами (и потенциальная энергия) определяются плотностью газа, а кинетическая энергия — его температурой. Поэтому плотность газа должна быть значительно (на три и более порядка) меньше плотности соответствующей жидкости, а температура не должна быть слишком низкой (не приближаться к «абсолютному нулю») и не слишком высокой (не должны играть роль процессы ионизации).

Задача. В каждом из равновесных состояний давление гелия \(p_{1,2,3}\) уравновешивает вес поршня массой \(m_0\), вес дроби и внешнее давление \(p_0\): \[p_1 S = m_0 g + p_0 S, \quad p_2 S = (m_0 + m) g + p_0 S, \quad p_3 S = \left(m_0 + \frac{2m}{3}\right) g + p_0 S.\] Температура неизменна, поэтому давления обратно пропорциональны объёмам: \(\dfrac{h_0}{h_1} = \dfrac{p_2}{p_1}\), откуда \(\dfrac{mg}{p_1 S} = \dfrac{h_0}{h_1} - 1\). Для конечной высоты \(h\) справедливо \(\dfrac{h_1}{h} = \dfrac{p_3}{p_2}\); подставляя выражения для давлений, получаем \[h = \frac{3h_0h_1}{h_1 + 2h_0} = 27~\text{см}.\]

Достаточно ли проверить потенциальность поля одного точечного заряда и что нужно, чтобы шарик прошёл центр среднего кольца?

Вопрос: да, являются.  Задача: \(v_0 > \sqrt{\dfrac{2kqQ}{ma}\cdot\dfrac{(\sqrt5-1)(2\sqrt2-1)}{\sqrt{10}}}\), где \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\).

Вопрос. Да, являются. Поскольку для электрического поля справедлив принцип суперпозиции, достаточно проверить потенциальность поля точечного заряда. При перемещении заряда по замкнутому контуру работа равна нулю: при перемещениях перпендикулярно радиусу сила Кулона работы не совершает, а при радиальных перемещениях сила \(F_r = -\dfrac{dU}{dr}\) выражается через производную функции \(U = \dfrac{kQq}{r}\) (потенциальной энергии взаимодействия зарядов), поэтому при возвращении к исходному значению \(r\) работа обращается в ноль.

Задача. Силы взаимодействия с кольцами тормозят шарик от исходной точки A до центра среднего кольца O, дальше они его разгоняют. Поэтому достаточно пройти точку O. Потенциал точки на оси одного кольца на расстоянии \(l\) от его центра равен \(\varphi(l) = \dfrac{kQ}{\sqrt{a^2+l^2}}\). По принципу суперпозиции для всех трёх колец: \[\varphi_A = \frac{k(-Q)}{a\sqrt2} + \frac{k\cdot 2Q}{a\sqrt5} + \frac{k(-Q)}{a\sqrt{10}} = -\frac{kQ}{a\sqrt{10}}\left(\sqrt5 + 1 - 2\sqrt2\right),\] \[\varphi_O = \frac{k(-Q)}{a\sqrt2} + \frac{k\cdot 2Q}{a} + \frac{k(-Q)}{a\sqrt2} = \frac{kQ}{a}\left(2 - \sqrt2\right).\] Закон сохранения энергии для шарика, проходящего точку O с ненулевой кинетической энергией: \(\dfrac{mv_0^2}{2} + q\varphi_A > q\varphi_O\), откуда \[v_0 > \sqrt{\frac{2q}{m}(\varphi_O - \varphi_A)} = \sqrt{\frac{2kqQ}{ma}\cdot\frac{(\sqrt5-1)(2\sqrt2-1)}{\sqrt{10}}}.\]

Сравните, как преломляются лучи, идущие под малыми углами к радиусу, и лучи под большими углами.

Вопрос: тонкая линза даёт четкие изображения точечных источников (для предметов не слишком близко к линзе), прозрачный шар даёт размытые изображения, четкие лишь для удалённых предметов и параксиальных лучей.  Задача: \(n > 2\).

Вопрос. Тонкая линза даёт точечные изображения светящихся точек, что позволяет получать четкие изображения для предметов, расположенных не слишком близко к линзе (иначе требования приближения тонкой линзы могут не выполняться). Прозрачный шар также производит преломление луча на двух сферических поверхностях, но он не является тонкой линзой, и поэтому изображения в нём получаются размытыми. Его изображения становятся более четкими лишь при наблюдении удалённых предметов, когда достигающие наблюдателя лучи являются параксиальными, то есть идут на небольшом расстоянии от оси, проходящей через центр шара параллельно данному лучу.

Задача. Рассмотрим ход лучей от источника в шаре. Все лучи, прошедшие через шар, пересекаются с лучом, проходящим через центр, если при любом угле падения \(\alpha\) на поверхность шара для угла преломления выполняется условие \(2\beta < \alpha\). Так как \(\sin\alpha > \sin 2\beta = 2\sin\beta\cos\beta\), а по закону преломления \(\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}\), \(\cos\beta = \dfrac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}\), требование принимает вид \(2\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} < n^2\) для любого \(0 < \alpha < 90^\circ\). Оно должно выполняться при \(\alpha \to 0\), то есть \(2n < n^2\), откуда \[n > 2.\]