«Покори Воробьёвы горы!», 2014/15, заключительный этап, 7-9 класс

Подсказка

Средняя скорость на пути — это не среднее арифметическое скоростей. Для трека запишите время круга на каждой дорожке через скорость модели и сравните времена.

Ответ

Вопрос: \(v_{ср} = 4\) м/с.  Задача: \(V \approx (2{,}26 \pm 0{,}12)\) м/с.

Решение

Вопрос. Средняя скорость на пути \(s\): \(v_{ср} = \dfrac{s}{s/(2v_1) + s/(2v_2)} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2} = 4\) м/с.

Задача. Пусть \(V\) — скорость автомобильчика в м/с. Тогда времена прохождения кругов: \(t_1 = \dfrac{2\pi R_1}{V}\), \(t_2 = \dfrac{2\pi R_2}{1+V}\) и \(t_3 = \dfrac{2\pi R_3}{1{,}9+V}\). По условию \(t_2 < t_3 < t_1\). Наиболее строгие границы для скорости дают «крайние» неравенства: \[t_2 < t_3 \;\Rightarrow\; \frac{R_2}{1+V} < \frac{R_3}{1{,}9+V} \;\Rightarrow\; V > \frac{43}{20}~\text{м/с}, \qquad t_3 < t_1 \;\Rightarrow\; \frac{R_3}{1{,}9+V} < \frac{R_1}{V} \;\Rightarrow\; V < \frac{19}{8}~\text{м/с}.\] Среднее значение для полученного интервала \(V \approx \dfrac{181}{80}~\text{м/с} \approx 2{,}26\) м/с. Возможный разброс значений меньше \(0{,}2\) м/с (он меньше \(0{,}12\) м/с). Ответ: \(V \approx (2{,}26 \pm 0{,}12)\) м/с.

Подсказка

Запишите тепловой баланс для первого закипания, для остывания после долива и для второго закипания.

Ответ

Вопрос: около \(10\%\).  Задача: \(t = \dfrac{Tt_1 + \tau t_0}{T+\tau} \approx 89\,^\circ\)C.

Решение

Вопрос. Скорость увеличения внутренней энергии воды равна разности потока тепла, поступающего от плиты, и потока тепла, рассеивающегося в окружающую среду. Первый зависит от мощности плиты и её температуры, второй — от свойств кастрюли и разности температур кастрюли и окружающей среды. Если \(P_н\) — мощность нагрева, а \(P\) — средняя мощность потерь, то средняя скорость увеличения внутренней энергии равна \(P_н - P\); вблизи \(20\,^\circ\)C она равна \(P_н\), а вблизи \(100\,^\circ\)C — \(P_н - 2P\). Среднее рассеиваемое тепло составляет не более \(10\%\) поступающего от плиты, поэтому указанная ошибка порядка \(10\%\). Влияние температуры кастрюли на поток тепла от плиты меньше, чем на поток тепла в окружающую среду, но всё же есть; с его учётом ошибка возрастёт менее чем в два раза, и наиболее надёжная оценка — не более \(20\%\).

Задача. Пусть \(N\) — скорость поступления тепла в кастрюлю (мощность плиты минус мощность потерь в окружающую среду), которую считаем неизменной. Пусть \(C_K\) — теплоёмкость кастрюли вместе с компотом, \(C_B\) — теплоёмкость долитой воды. Тепловой баланс для первого закипания: \(NT = C_K(t_1 - t_0)\), откуда \(\dfrac{N}{C_K} = \dfrac{t_1 - t_0}{T}\). Для охлаждения компота после долива до температуры \(t\): \(C_K(t_1 - t) = C_B(t - t_0)\), откуда \(\dfrac{C_B}{C_K} = \dfrac{t_1 - t}{t - t_0}\). Тепловой баланс для повторного закипания: \(N\tau = (C_K + C_B)(t_1 - t)\). Разделив обе части на \(C_K\) и используя полученные соотношения, получаем \[\frac{N}{C_K}\,\tau = \left(1 + \frac{C_B}{C_K}\right)(t_1 - t) \quad\Rightarrow\quad t = \frac{Tt_1 + \tau t_0}{T + \tau} \approx 89\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Учтите, что внутреннее сопротивление вольтметра конечно, и подумайте, какие токи через него текут.

Ответ

Вопрос: показания вольтметра меньше разности потенциалов; при подключении второго вольтметра показания уменьшаются.  Задача: \(V_1 \approx 28\) В, \(V_2 \approx 4\) В, \(V_3 \approx 32\) В.

Решение

Вопрос. Это связано с тем, что вольтметр неидеален и имеет конечное внутреннее сопротивление \(R\), а батарейка имеет ненулевое внутреннее сопротивление \(r\). Если разность потенциалов на полюсах ненагруженной батарейки равна \(U_0\), то ток через вольтметр и батарейку равен \(I = \dfrac{U_0}{R + r}\), а напряжение на вольтметре \(U = IR = \dfrac{R}{R+r}U_0 < U_0\), то есть показания вольтметра меньше \(U_0\). Если параллельно вольтметру подключить второй такой же, то общее сопротивление станет вдвое меньше, и ток в цепи возрастёт: \(I' = \dfrac{U_0}{R/2 + r}\), поэтому напряжение на вольтметрах уменьшится: \(U' = U_0 - I'r < U_0 - Ir = U\).

Задача. Внутренние сопротивления вольтметров настолько велики, что ток через них порядка одной десятитысячной доли тока через резисторы; при вычислении токов через резисторы сопротивлениями вольтметров можно пренебречь. Поэтому напряжения на резисторах \(U_1 \approx IR_1\) и \(U_2 \approx IR_2\). Если \(V_{1,2,3}\) — показания вольтметров, то \(U_1 = V_1 - V_2\) и \(U_2 = V_2 + V_3\) (направления токов через вольтметры выбраны, как показано на рисунке). Так как ток через вольтметр 3 равен сумме токов через вольтметры 1 и 2, а их сопротивления одинаковы, то \(V_3 = V_1 + V_2\). Решая систему, находим \[V_1 = \frac{2U_1 + U_2}{3} = \frac{I(2R_1 + R_2)}{3} \approx 28~\text{В},\quad V_2 = \frac{U_2 - U_1}{3} = \frac{I(R_2 - R_1)}{3} \approx 4~\text{В},\quad V_3 = \frac{U_1 + 2U_2}{3} = \frac{I(R_1 + 2R_2)}{3} \approx 32~\text{В}.\]

Подсказка

Сравните силы натяжения в ветвях верёвки на каждом подвижном блоке и вспомните, что работа обезьянки идёт на изменение механической энергии системы.

Ответ

Вопрос: три последовательно соединённых подвижных блока (каждый даёт выигрыш в два раза).  Задача: \(m = 3{,}5\) кг; \(t = 7\) с; \(A = \dfrac{M(3u^2 + 49gh)}{63} \approx 481{,}2\) Дж.

Решение

Вопрос. Вариант такой «идеальной» системы приведён на рисунке: каждый из подвижных блоков даёт выигрыш в два раза, поэтому система из трёх последовательно соединённых подвижных блоков даёт выигрыш по силе в \(8\) раз. При этом верёвки требуется выбрать в \(8\) раз больше высоты подъёма груза.

Задача. Пока система находилась в равновесии, вес обезьянки уравновешивался тройной силой натяжения «правой» верёвки: \(T = \dfrac{Mg}{3}\). Равновесие верхнего подвижного блока, на который действуют сила натяжения «правой» верёвки и удвоенная сила натяжения «левой», даёт для «левой» верёвки \(T' = \dfrac{T}{2} = \dfrac{Mg}{6}\). Эта сила уравновешивает вес груза: \(T' = mg\), откуда \(m = \dfrac{M}{6} = 3{,}5\) кг.

При разгоне обезьянка увеличивает натяжение, и груз набирает скорость \(V\), направленную вверх; верхний подвижный блок при этом опускается со скоростью \(V/2\). Длина верёвки, идущей к грузу, уменьшается за время \(t\) на \(3Vt\) за счёт подъёма нижнего блока с обезьянкой и на \(\dfrac{V}{2}t\) за счёт опускания верхнего блока; эта сумма равна \(ut\). Отсюда \(3V + \dfrac{V}{2} = u\), то есть \(V = \dfrac{2u}{7}\), а скорость сближения блоков \(\dfrac{3V}{2} = \dfrac{3u}{7}\). Тогда время подъёма до столкновения блоков \[t = \frac{h}{3u/7} = \frac{7h}{3u} = 7~\text{с}.\]

Работа обезьянки — единственный источник увеличения механической энергии системы; она идёт на кинетическую энергию \(E_k = \dfrac{(M+m)V^2}{2} = \dfrac{Mu^2}{21} = 1\) Дж и на потенциальную энергию \(E_p = (M+m)g s = \dfrac{7}{9}Mgh \approx 480{,}2\) Дж (при \(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\), перемещение \(s = \dfrac{2h}{3}\)). Итак, \[A = E_k + E_p = M\left(\frac{u^2}{21} + \frac{7gh}{9}\right) = \frac{M(3u^2 + 49gh)}{63} \approx 481{,}2~\text{Дж}.\]