«Покори Воробьёвы горы!», 2016/17, отборочный этап, 7–9 класс

Камень дважды проходит уровень балкона, значит, моменты времени — корни одного квадратного уравнения для координаты камня. Используйте теорему Виета.

\(25\) м/с.

Закон движения камня, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли: \(x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\). Моменты времени, в которые камень находится на высоте балкона \(h\), — корни квадратного уравнения \(\dfrac{g}{2}t^2-v_0t+h=0\). По теореме Виета \(t_1+t_2=\dfrac{2v_0}{g}\), откуда \(v_0=\dfrac{g(t_1+t_2)}{2}=25\) м/с.

Запишите уравнение теплового баланса для первой доливки, учитывая теплоёмкость термоса вместе с водой; затем составьте такое же уравнение для второй доливки.

\(37\) °C.

Пусть \(C_T\) — теплоёмкость термоса с водой до доливания первой порции, \(C_B\) — теплоёмкость одной порции воды. Тогда \(C_T(t_1-t_0)=C_B(t-t_1)\), откуда \(C_T=5C_B\). Для второго доливания \((C_T+C_B)(t_2-t_1)=C_B(t-t_2)\), то есть \(6(t_2-t_1)=t-t_2\), откуда \(t_2=\dfrac{260}{7}\approx37{,}1\) °C.

Одинаковые показания двух амперметров означают, что их внутренние сопротивления равны. Запишите закон Ома для обоих включений цепи.

\(2\) Ом.

Параллельно соединенные амперметры показывали одинаковую силу тока, значит, их внутренние сопротивления одинаковы. При подключении одного амперметра \(R+r=\dfrac{U}{I_1}=25\) Ом, а при подключении двух (общий ток \(2I_2=0{,}5\) А) \(R+\dfrac{r}{2}=\dfrac{U}{2I_2}=24\) Ом. Вычитая эти соотношения, находим \(\dfrac{r}{2}=1\) Ом, то есть \(r=2\) Ом.

Давление столба жидкости на грань равно силе тяжести воды, деленной на площадь грани. По трём площадям граней найдите стороны параллелепипеда, а затем его внутренний объём.

\(720\) г.

Обозначим длины сторон внутренних граней параллелепипеда (в порядке возрастания) \(a\), \(b\) и \(c\). Давление столба воды над гранью площадью \(S\) равно \(p=\dfrac{mg}{S}\), поэтому \(ab=\dfrac{mg}{p_1}\), \(ac=\dfrac{mg}{p_2}\) и \(bc=\dfrac{mg}{p_3}\). Из этих соотношений находим \(c=\sqrt{\dfrac{mg\,p_1}{p_2p_3}}\) и аналогично \(a=\sqrt{\dfrac{mg\,p_3}{p_2p_1}}\), \(b=\sqrt{\dfrac{mg\,p_2}{p_1p_3}}\). Значит, внутренний объем емкости \(V=mg\sqrt{\dfrac{mg}{p_1p_2p_3}}\). В эту емкость еще можно долить воду массой не более \[\Delta m=\rho V-m=m\left[\rho g\sqrt{\frac{mg}{p_1p_2p_3}}-1\right]=3m=720~\text{г}.\]

Движение поперек канала равномерное, поэтому координата \(x\) пропорциональна времени. График \(u(x)\) можно перестроить как график скорости сноса \(u(t)\) и найти снос как площадь под ним.

\(64\) м.

Движение лодки по оси \(x\) равномерное: \(x=vt\), поэтому график можно рассматривать как график зависимости скорости перемещения вдоль оси \(y\) от времени (\(120\) м соответствуют \(24\) с). Движение вдоль \(y\) от \(t_0=0\) до \(t_1=8\) с — равноускоренное с ускорением \(a_1=0{,}5\) м/с\(^2\), путь \(s_1=\dfrac{a_1t_1^2}{2}=16\) м. От \(t_1=8\) с до \(t_2=16\) с движение равномерное со скоростью \(u=4\) м/с, \(s_2=u(t_2-t_1)=32\) м. От \(t_2=16\) с до \(t_3=24\) с движение происходит с постоянным ускорением \(a_3=0{,}5\) м/с\(^2\) (замедление), \(s_3=u(t_3-t_2)-\dfrac{a_3(t_3-t_2)^2}{2}=16\) м. Полный снос \(s=s_1+s_2+s_3=64\) м.

Сначала оцените по данным условия сопротивления вольтметров и амперметров и напряжение источника, сразу с погрешностями. Затем проверьте, можно ли пренебречь токами через новые вольтметры.

\(U_1'\approx U_2'\approx(76{,}8\pm1{,}4)\) В; \(I_1'\approx(192\pm5)\) мА; ток \(I_2'\) нельзя отличить от нуля в пределах приборной ошибки.

Сопротивление вольтметров \(R_V=\dfrac{U_2}{I_2}\approx2100\) Ом, с погрешностью около \(30\) Ом (точность \(I_2\) около \(1{,}4\) 

После замены сопротивление новых вольтметров \(R_V'=800R_V\approx1{,}68\) МОм, и токи в их ветвях не превосходят \(\dfrac{U}{R_V'}\approx47\) мкА, что много меньше приборной ошибки амперметров (500 мкА); этими токами можно пренебречь. Тогда показание первого амперметра определяется током по контуру «лампа – \(A_1\)»: \(I_1'\approx\dfrac{U}{R_Л+R_A}\approx(192\pm5)\) мА (\(R_Л+R_A\approx(411\pm6)\) Ом, ошибка около \(1{,}5\) 

Невесомый подвижный блок означает, что натяжение нити вдвое меньше приложенной силы. Далее рассмотрите три режима движения грузов на столе в зависимости от силы и подберите параметры по данным.

\(\mu_1=0{,}20\pm0{,}02\); \(\mu_2=0{,}20\pm0{,}04\).

Верхний подвижный блок невесом, поэтому натяжение нити \(T=\dfrac{F}{2}\). Для нижнего подвижного блока с висящим грузом \(mA_2=mg-2T\), то есть \(A_2=g-\dfrac{F}{m}\). Ускорение верхнего блока связано с ускорениями \(A_1\) грузов на столе и \(A_2\) условием нерастяжимости нити: \(a=\dfrac{A_1+A_2}{2}\). Характер движения грузов зависит от \(F\): при малых силах грузы покоятся, при средних скользят вместе, при больших верхний груз скользит по нижнему. По данным условия сила \(F_1\) относится к первой области, \(F_2\) — ко второй, \(F_3\) — к третьей; из условия \(a_1\) при \(F_1\) следует \(g\approx10{,}0\) м/с\(^2\) с погрешностью \(0{,}1\) м/с\(^2\). Далее из значения \(a_2\) при \(F_2\) найдено \(\mu_1\), из значения \(a_3\) при \(F_3\) — \(\mu_2\). Учёт всех ограничений дает \(\mu_1=0{,}20\pm0{,}02\) и \(\mu_2=0{,}20\pm0{,}04\). Полные выкладки и обоснование границ областей — в официальном решении.