«Покори Воробьёвы горы!», 2016/17, заключительный этап, 7–9 класс

Подсказка

Пусть \(L\) — периметр квартала, \(l\) — расстояние от гостиницы до ближайшего угла, \(u\) и \(v\) — скорости Фикса и Паспарту. Запишите, сколько времени Фикс бежал до старта погони и как сближались бегуны в обоих случаях.

Ответ

Вопрос: \(v_{\rm ср}=3{,}5\) км/ч;  Задача: \(t_2=\dfrac{(T-t)\,t_1}{2t_1+t}=2{,}8\) мин = 2 мин 48 с.

Решение

Вопрос. Пусть \(s\) — полный путь школьника, а \(t\) — полное потраченное время. Тогда \[t=\frac{3s}{4v_1}+\frac t3+\frac{s}{4v_2},\] откуда находим \[v_{\rm ср}\equiv\frac st=\frac{8v_1v_2}{3(v_1+3v_2)}=3{,}5~\text{км/ч}.\]

Задача. Пусть \(L\) — периметр квартала, \(l\) — расстояние от гостиницы до ближайшего угла (то есть то самое расстояние, на которое отбежал Фикс от гостиницы к тому моменту, когда Паспарту начал погоню), \(u\) — скорость Фикса, \(v\) — скорость Паспарту. Тогда мы можем написать: \(L=uT\), \(l=ut\). В начале погони расстояние между Фиксом и Паспарту равно \(l\), а скорость их сближения равна \(v-u\). Поэтому \(l=(v-u)t_1\). В случае, когда Паспарту побежит навстречу Фиксу, начальное расстояние между ними по пути вокруг квартала равно \(L-l\), а скорость сближения теперь \(v+u\). Значит, \(L-l=(v+u)t_2\). Подставляя \(L\) и \(l\) из двух первых уравнений в третье, найдём, что \(ut=(v-u)t_1\), то есть \(v=\dfrac{t+t_1}{t_1}\,u\). Подставим все полученные выражения в последнюю формулу, и обнаружим, что \[u(T-t)=\left(\frac{t+t_1}{t_1}+1\right)u\,t_2=u\,\frac{2t_1+t}{t_1}\,t_2.\] Одинаковый множитель \(u\) сокращается, и находим \[t_2=\frac{(T-t)\,t_1}{2t_1+t}=2{,}8~\text{мин}.\]

Подсказка

Сначала часть воды испаряется, забирая много тепла, и пластинка остывает примерно до \(100\,^\circ\)C. Дальше тепло остывающей пластинки идёт на таяние льда и нагрев всего содержимого стакана. Запишите два уравнения теплового баланса.

Ответ

Вопрос: показания термометра заметно уменьшатся;  Задача: \(t\approx4{,}6\,^\circ\)C.

Решение

Вопрос. Ацетон быстро испаряется, отнимая тепло у ваты и шарика термометра. Так как теплота парообразования довольно значительна, охлаждение шарика термометра будет очень заметным. Таким образом, показания термометра заметно уменьшатся.

Задача. Ясно, что начальная температура воды \(t_0=0\,^\circ\)C. «Шипение» сопровождало процесс кипения и быстрого испарения воды, контактировавшей с пластинкой. Этот процесс происходил до того момента времени, когда температура пластинки уменьшилась до \(t_2=100\,^\circ\)C. Уравнение теплового баланса для этого процесса позволяет найти массу испарившейся воды: \[c_M m(t_1-t_2)=\Delta m\,[c(t_2-t_0)+r]\ \Rightarrow\ \Delta m=\frac{c_M m(t_1-t_2)}{c(t_2-t_0)+r}\approx10{,}262~\text{г}.\] Здесь мы считаем, что в этом «быстром» процессе оставшаяся часть воды, льдинка и сосуд практически не нагрелись. Дальше, в «медленном» процессе, тепло остывания пластинки до конечной температуры \(t\) идёт на таяние льдинки и нагрев воды и стакана до той же температуры: \[c_M m(t_2-t)=\lambda m_{\text{Л}}+\left[C_{\text{ст}}+c(M-\Delta m+m_{\text{Л}})\right]t \ \Rightarrow\ t=\frac{c_M m t_2-\lambda m_{\text{Л}}}{C_{\text{ст}}+c(M-\Delta m+m_{\text{Л}})+c_M m}\approx4{,}62\,^\circ\text{C}.\] Отметим, что температура получилась положительной, то есть льдинка действительно растаяла полностью.

Подсказка

Максимальный полный ток квартиры равен сумме токов предохранителей. Для зарядки: сопротивление контура зарядки найдите из закона Ома для участка с ЭДС аккумулятора и напряжением внешнего источника.

Ответ

Вопрос: \(Pt=126{,}72\) кВт·ч за сутки;  Задача: \(Q=\left(1-\dfrac{U_1}{U_0}\right)P\tau=13{,}5\) Дж.

Решение

Вопрос. Максимальный полный ток потребления квартиры \(I=I_1+I_2=24\) А, и поэтому максимально возможная потребляемая мощность \(P=IU\approx5{,}28\) кВт. Значит, квартира не может за сутки потребить более чем \(Pt=126{,}72\) кВт·ч электроэнергии.

Задача. Поскольку заданное время «значительно меньше времени, необходимого для зарядки», то изменением напряжения на аккумуляторе за это время можно пренебречь. Пусть сопротивление контура зарядки аккумулятора равно \(r\). Тогда сила тока, протекающего через аккумулятор, \(I=\dfrac{U_0-U_1}{r}\). Мощность, расходуемая зарядным устройством, \(P=U_0I\), а мощность тепловыделения \[P'=I^2r=\frac{U_0-U_1}{U_0}\,P.\] Поэтому искомое количество теплоты \[Q=P'\tau=\left(1-\frac{U_1}{U_0}\right)P\tau=13{,}5~\text{Дж}.\]

Подсказка

Выразите плотности шаров через \(\rho_0\) (плотность воды) и сравните силы Архимеда с весами. Для связанных шаров запишите равновесие каждого шара отдельно.

Ответ

Вопрос: уровень воды в сосуде не изменится;  Задача: \(P'=\dfrac{5P}{9}\).

Решение

Вопрос. Покоясь на кораблике, шарик вытесняет объём жидкости, вес которого равен весу шарика. Скатившись с кораблика в воду, шарик плавает на поверхности воды и вытесняет точно такой же объём жидкости. Поэтому уровень воды в сосуде не изменится.

Задача. Пусть \(\rho_0\), \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности воды, вещества тяжёлого шара и вещества лёгкого шара соответственно. Тогда, когда тяжёлый шар положили в пустой сосуд, давление на дно создавалось силой тяжести этого шара, то есть \(P=\rho_1Vg\), где \(V\) — объём шара. После наливания воды шар остался лежать на дне (давление не прекратилось), но теперь давление уменьшилось благодаря силе Архимеда \(F_A=\rho_0Vg\), то есть \(\dfrac{2P}{3}=P-\rho_0Vg\). Отсюда легко найти, что \(P=3\rho_0Vg\) и \(\rho_1=3\rho_0\). Для плавающего лёгкого шара условие равновесия даёт \(\rho_2Vg=\rho_0\dfrac{2V}{3}g\), откуда \(\rho_2=\dfrac{2\rho_0}{3}\).

Наконец, для связанных шаров при полном погружении лёгкого шара (см. рисунок):

\[\begin{cases} \rho_0Vg=T+\dfrac{2\rho_0}{3}Vg,\\[2mm] P'+T+\rho_0Vg=3\rho_0Vg, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad P'=\dfrac{5\rho_0}{3}Vg=\dfrac59\,P.\]