«Покори Воробьёвы горы!», 2018/19, отборочный этап, 10–11 класс

Что происходит с зарядами внутри проводника, помещённого в статическое поле? Какой потенциал у всех точек покоящегося проводника?

\(0\).

Разность потенциалов между двумя точками покоящегося проводника в статическом поле всегда равна нулю.

Изменение скорости за время \(t\) равно \(\vec g t\). Нарисуйте векторный треугольник для \(\vec v_0\), \(\vec v\) и \(\vec g t\).

\(1{,}5\).

Достаточно записать в векторной форме равенство \(\vec v = \vec v_0 + \vec g t\) и изобразить его на векторной диаграмме. Поскольку треугольник прямоугольный, \(g^2t^2 = v_0^2 + v^2\), откуда \(t = \dfrac{\sqrt{v_0^2+v^2}}{g} = \dfrac{\sqrt{81+144}}{10} \approx 1{,}5\) с.

Если температура в конце совпадает с начальной, чему равно изменение внутренней энергии за весь процесс? Какая доля теплоты идёт на работу в изобарном процессе одноатомного газа?

\(441\).

Так как гелий вернулся к исходной температуре, изменение его внутренней энергии равно нулю, и его работа во всём процессе равна полученному гелием количеству теплоты. В адиабатическом процессе теплота не поступает, поэтому все \(735\) Дж получены гелием в изобарном процессе. Работа в изобарном процессе для одноатомного идеального газа составляет \(2/5\) от количества теплоты. Значит, остальные \(3/5\) общей работы совершены в адиабатическом процессе: \(0{,}6\cdot735\) Дж \(=441\) Дж.

Найдите радиус орбиты спутника, при котором период обращения равен земным суткам. Затем оцените, при каком угле между лучами Солнца и экваториальной плоскостью спутник входит в земную тень.

1) максимальная длительность затмения \(\approx 69\) мин; 2) длительность периода «бесперебойного» освещения \(\approx 137\) суток.

Период обращения геостационарного спутника равен суткам: \(R = \sqrt[3]{\dfrac{gT^2R_E^2}{4\pi^2}} \approx 6{,}62\,R_E \approx 42200\) км, скорость на этой орбите \(v = \sqrt{gR_E^2/R} \approx 3{,}07\) км/с. Область полной тени за Землёй имеет длину \(L_{max} = 2R_E/\beta \approx 1{,}4\cdot10^6\) км, что значительно больше \(R\), поэтому сходимостью тени можно пренебречь. Наибольшая длительность затмения наступает, когда Солнце находится в экваториальной плоскости: \(\tau_{max} \approx 2R_E/v \approx 69\) мин. Положение тени относительно экваториальной плоскости меняется в течение года, и спутник попадает в тень при \(|\cos\varphi| < \dfrac{R_E}{R\sin\alpha} \approx 0{,}380\), где \(\varphi\) — угол поворота Земли от положения летнего солнцестояния. Поэтому в течение года есть два периода без затмений, каждый длительностью \(t \approx \dfrac{1}{\pi}\arccos\!\left(\dfrac{R_E}{R\sin\alpha}\right)T_0 \approx 137\) суток.

Сила со стороны пучка возникает из-за поворота импульса фотонов при преломлении в шарике. При \(b \ll R\) угол отклонения пропорционален прицельному расстоянию \(b\); просуммируйте вклады всех лучей пучка.

\(P = \dfrac{3\pi c n R}{16(n-1)r}\,mg \approx 18\) мкВт.

Луч, падающий на шарик на расстоянии \(b\) от оси, дважды преломляется; угол поворота луча \(\theta = 2\left(\arcsin\dfrac{b}{R} - \arcsin\dfrac{b}{nR}\right) \approx \dfrac{2(n-1)}{nR}\,b\). Поскольку в шаре нет поглощения, энергия и модуль импульса фотона не меняются, а изменение импульса фотона \(|\Delta\vec p| = 2|\vec p|\sin\dfrac{\theta}{2}\). Энергия пучка распределена по полукругу равномерно с плотностью \(\dfrac{2P}{\pi r^2}\). Сумма проекций импульса отдачи по всем лучам пучка (x-компоненты от двух пучков сокращаются) даёт результирующую силу, направленную перпендикулярно пучкам: \(F_y = \dfrac{16(n-1)\,r}{3\pi c n R}\,P\). Условие равновесия \(mg = F_y\) даёт \(P = \dfrac{3\pi c n R}{16(n-1)r}\,mg \approx 18\) мкВт.

Из двух измерений с одной и двумя лампами найдите ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора. Затем составьте законы Кирхгофа для схемы светильника и решите систему численно.

\(P_1/P_2 \approx 40{,}6 \pm 1{,}1\).

Напряжение на лампе связано с током соотношением \(U = \alpha I^2\). Из измерений с одной лампой и с двумя параллельными лампами найдены ЭДС аккумулятора \(\mathcal E = \bar I r\) при \(\bar I = 4{,}00\) А и сопротивление резистора \(R = 9r\). Законы Кирхгофа для светильника составляют систему пяти уравнений; её решают численно (в числах, например, в таблице). Получаем токи через лампы \(I'_1 \approx (1{,}878 \pm 0{,}005)\) А и \(I'_2 \approx (0{,}546 \pm 0{,}005)\) А. Мощность лампы \(P = \alpha I^3\), поэтому \(\dfrac{P_1}{P_2} = \left(\dfrac{I'_1}{I'_2}\right)^3 \approx 40{,}6 \pm 1{,}1\).

В точке излома оба пара начинают конденсироваться одновременно, поэтому их суммарное парциальное давление равно \(p_1 + p_2\). Найдите эту сумму по данным таблицы, а затем по графику — температуру, при которой она достигается.

Температура изотермы \(T \approx 271\) К; количества веществ \(\nu_1 \approx 0{,}25\) моль и \(\nu_2 \approx 0{,}50\) моль; для полного испарения жидких компонент в объёме \(40\) л нужно нагреть смесь до \(T_1 \approx 273\) К.

Давление смеси до излома равно \(p = (\nu + \nu_1 + \nu_2)\dfrac{RT}{V}\). В точке излома \(p_0V_0 = \nu RT + p_1 + p_2\) (здесь \(p_1\), \(p_2\) — давления насыщенных паров при температуре изотермы). Для объёма \(V_A = 30\) л (и \(V_B = 40\) л) при \(V_A < V_0\) получаем \(p_1 + p_2 = \dfrac{p_0V_0 - p_AV_A}{V_0 - V_A}\), где \(V_0 = 50\) л и \(p_0 = 90{,}08\) кПа — точка излома. Получаем \(p_1 + p_2 \approx 33{,}77\) кПа. По графику давлений насыщенных паров этой сумме соответствует \(T \approx 271{,}0\) К, при этом \(p_1 \approx 11{,}26\) кПа, \(p_2 \approx 22{,}51\) кПа, \(\nu_2/\nu_1 = p_2/p_1 \approx 2{,}0\). Тогда \(\nu_1 = \dfrac{p_1V_0}{RT} \approx 0{,}25\) моль, \(\nu_2 \approx 0{,}50\) моль. При объёме \(40\) л изохорный нагрев приводит к полному испарению вещества 2 при \(T_2 \approx 272{,}6\) К, вещества 1 — при \(T_1 \approx 273{,}0\) К; значит, смесь нужно нагреть до \(273\) К.