«Покори Воробьёвы горы!», 2018/19, отборочный этап, 7–9 класс

Перейдите в систему отсчёта колонны: какова скорость Руматы относительно неё? За время обгона он проходит путь, равный длине колонны.

\(241\).

Скорость Дона Руматы относительно колонны равна \(5\) м/с, поэтому длина колонны \(96\) с\(\cdot5\) м/с\(=480\) м, что соответствует \(240\) «промежуткам» между \(241\) гвардейцем.

Поток тепла через оба слоя одинаков. Сравните разности температур на слоях разной толщины.

\(19\).

Поскольку общий поток тепла через единицу площади для всех слоёв одинаков, разность температур для более толстого слоя должна быть в три раза больше, чем для более тонкого (температуру очень хорошо проводящего тепло вещества считаем одинаковой в любой точке): \(t - 4\,^\circ\text{C} = 3\,(24\,^\circ\text{C} - t)\), откуда \(t = 19\,^\circ\text{C}\).

Четыре лампы соединены последовательно и вместе подключены параллельно одной лампе. Как связаны напряжения и токи, если ток пропорционален корню из напряжения?

\(26\).

На каждой из четырёх последовательно соединённых ламп напряжение по \(2\) В, поэтому протекающий через них ток в \(2\) раза меньше, чем через лампу 1, подключённую параллельно им (на которой напряжение \(8\) В). Значит, ток через лампу «на входе» цепи в \(1{,}5\) раза больше, чем через лампу 1, и напряжение на ней \(2{,}25\cdot8\) В\(=18\) В. Напряжение на входе цепи \(8\) В \(+18\) В \(=26\) В.

Время между встречами равно длине кольца, делённой на скорость сближения. Что происходит с суммой скоростей, если большую скорость увеличить, а меньшую уменьшить на одинаковый процент?

Задача не имеет решения.

Время между встречами равно длине кольца, делённой на скорость сближения, а скорость сближения равна сумме скоростей автомобилей. При указанном изменении скоростей сумма увеличивается, значит, время между встречами уменьшится, что противоречит условию \(t_2 > t_1\). Таким образом, задача не имеет решения. Если бы время \(t_2\) было меньше \(t_1\) на \(3\%\), то решение существовало бы: при \(z = 0{,}11\) и \(y = -0{,}03\) получаем \(v_1/v_2 \approx 1{,}78\).

Все три серебряных шара получили одинаковый заряд \(Q\). При каждом касании суммарный заряд делится между золотым и серебряным шарами в одном и том же отношении \(\alpha\).

\(Q_1 = 50\) мкКл и \(Q_2 = 60\) мкКл.

В силу симметрии все три серебряных шара получают одинаковый заряд \(Q\). Пусть \(\alpha\) — доля общего заряда, оказывающаяся у золотого шарика при каждом касании. После первого касания \(q_1 = \alpha Q\), \(Q_1 = (1-\alpha)Q\); после второго \(q_2 = \alpha(1+\alpha)Q\), \(Q_2 = (1-\alpha^2)Q\); после третьего \(q_3 = \alpha(1+\alpha+\alpha^2)Q = q\), \(Q_3 = (1-\alpha^3)Q\). Отсюда \(\dfrac{q}{Q_3} = \dfrac{\alpha}{1-\alpha}\), \(\alpha = \dfrac{q}{Q_3+q} = 0{,}2\), \(Q = \dfrac{Q_3}{1-\alpha^3} = 62{,}5\) мкКл. Тогда \(Q_1 = (1-\alpha)Q = 50\) мкКл и \(Q_2 = (1-\alpha^2)Q = 60\) мкКл.

Освещённость от точечного источника убывает как квадрат расстояния. Запишите расстояния от корабля до объектов 1, 2, 3 через его координаты и составьте разности квадратов расстояний.

Координаты корабля \(x = 65\) кпс, \(y = 5\) кпс, \(z = \pm 27{,}4\) кпс; расстояние от корабля до системы \(O\) \(r \approx 44{,}7\) кпс.

Добавим третью ось \(z\), перпендикулярную плоскости. Все три объекта при нахождении корабля рядом с системой \(O\) удалены на одинаковое расстояние \(r_0 = \sqrt{a^2+b^2}/2\), поэтому ток датчика \(I_i = I_0\,\dfrac{a^2+b^2}{4r_i^2}\), то есть ток обратно пропорционален квадрату расстояния до объекта. Из выражений для \(r_1^2 = x^2 + (a-y)^2 + z^2\), \(r_2^2 = x^2 + y^2 + z^2\), \(r_3^2 = (b-x)^2 + y^2 + z^2\) получаем \[y = \frac{a}{2} + \frac{a^2+b^2}{8a}\left(\frac{I_0}{I_2} - \frac{I_0}{I_1}\right) = 5~\text{кпс}, \qquad x = \frac{b}{2} + \frac{a^2+b^2}{8b}\left(\frac{I_0}{I_2} - \frac{I_0}{I_3}\right) = 65~\text{кпс}.\] Далее \(z^2 = \dfrac{I_0}{I_2}\dfrac{a^2+b^2}{4} - x^2 - y^2 = 750\) кпс\(^2\), откуда \(z \approx \pm 27{,}4\) кпс. Координаты системы \(O\): \(x_0 = b/2 = 40\) кпс, \(y_0 = a/2 = 30\) кпс, и \(r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2} = 20\sqrt5\) кпс \(\approx 44{,}7\) кпс.

Скорость остывания пропорциональна разности температур внутри и снаружи (закон Фурье). Введите температуру \(t_c\), при которой мощности нагревателя хватает только на компенсацию теплопотерь, и выразите период через неё.

\(T_3 \approx 85{,}2\) мин (85 мин 20 с); нагреватель перестанет выключаться при \(t \le t_c \approx -47{,}4\,^\circ\text{C}\); минимальный период включений \(T_{min} \approx 80\) мин.

Пусть \(C\) — теплоёмкость домика с содержимым, \(\Delta t = 2\,^\circ\text{C}\). По закону Фурье мощность теплопотерь при наружной температуре \(t\) равна \(P_{ост} = A(t_0 - t)\), где \(A\) — постоянная. Тогда время остывания на \(\Delta t\) равно \(T_{ост} \approx \dfrac{C\Delta t}{A(t_0-t)}\), время нагревания \(T_н \approx \dfrac{C\Delta t}{P - A(t_0-t)}\), где \(P\) — мощность нагревателя, а период \(T = T_{ост} + T_н\). Введём \(t_c = t_0 - P/A\) — температуру, при которой мощности нагревателя хватает только на компенсацию теплопотерь; при \(t \le t_c\) нагреватель перестаёт выключаться. Тогда \(\dfrac{1}{T} = \dfrac{A^2}{C\Delta t P}(t_0-t)(t-t_c)\), минимальный период достигается при \(t_m = \dfrac{t_0+t_c}{2}\), и \(T_m = T_1\dfrac{4(t_0-t_1)(t_1-t_c)}{(t_0-t_c)^2}\). Из данных для \(t_1\) и \(t_2\) находим \(t_c = \dfrac{t_2(t_0-t_2)T_2 - t_1(t_0-t_1)T_1}{(t_0-t_2)T_2 - (t_0-t_1)T_1} = -48\,^\circ\text{C}\). Далее \(T_3 = T_1\dfrac{(t_0-t_1)(t_1-t_c)}{(t_0-t_3)(t_3-t_c)} = 85\tfrac{1}{3}\) мин \(= 85\) мин 20 с и \(T_m = 80\) мин, при \(t_m = -12\,^\circ\text{C}\). Уточнённый расчёт с использованием средней разности температур даёт \(t_c \approx -47{,}4\,^\circ\text{C}\), \(T_3 \approx 85{,}2\) мин, \(T_m \approx 79{,}9\) мин.